Terminale spécialité · Thermodynamique

Exercices — Premier principe

10 exercices à difficulté croissante : énergie interne, travail des forces de pression, transfert thermique, bilans énergétiques.

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Exercice 1 — Énergie interne et premier principe★★★★★

Un système reçoit un travail \(W=+150\ \text{J}\) et un transfert thermique \(Q=+80\ \text{J}\) de la part du milieu extérieur.

  1. Rappeler l'énoncé du premier principe de la thermodynamique.
  2. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du système.

1. \(\Delta U = W + Q\) : la variation d'énergie interne d'un système est égale à la somme du travail et du transfert thermique reçus par ce système.

2. \(\Delta U = 150 + 80 = 230\ \text{J}\).

Exercice 2 — Chauffage d'une masse d'eau★★★★★

On chauffe \(m=2{,}0\ \text{kg}\) d'eau liquide de \(T_1=18\ °\text{C}\) à \(T_2=45\ °\text{C}\). La capacité thermique massique de l'eau est \(c=4185\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

  1. Rappeler l'expression du transfert thermique \(Q\) reçu lors d'un chauffage à volume constant.
  2. Calculer \(Q\).

1. \(Q = mc\Delta T = mc(T_2-T_1)\).

2. \(Q = 2{,}0\times4185\times(45-18) = 2{,}0\times4185\times27 = 226\,;590\ \text{J} \approx 226\ \text{kJ}\).

Exercice 3 — Travail des forces de pression lors d'une détente★★★★★

Un gaz enfermé dans un cylindre se détend à pression constante \(P=1{,}0\times10^5\ \text{Pa}\), son volume passant de \(V_1=2{,}0\ \text{L}\) à \(V_2=3{,}5\ \text{L}\).

  1. Rappeler l'expression du travail des forces de pression reçu par le gaz lors d'une transformation isobare.
  2. Calculer ce travail \(W\) en Joules, et préciser son signe (le gaz reçoit-il ou fournit-il du travail ?).

1. \(W = -P\Delta V = -P(V_2-V_1)\) (convention : travail reçu par le système).

2. \(\Delta V = 3{,}5-2{,}0 = 1{,}5\ \text{L} = 1{,}5\times10^{-3}\ \text{m}^3\).

\(W = -1{,}0\times10^5\times1{,}5\times10^{-3} = -150\ \text{J}\). Le travail reçu est négatif : le gaz fournit du travail au milieu extérieur en se détendant (il pousse le piston).

Exercice 4 — Transformation isochore (volume constant)★★★★★

Un gaz enfermé dans une enceinte rigide (volume constant) reçoit un transfert thermique \(Q=320\ \text{J}\).

  1. Justifier que le travail des forces de pression est nul lors de cette transformation.
  2. En déduire la variation d'énergie interne du gaz.

1. \(W=-P\Delta V\). Le volume étant constant, \(\Delta V=0\), donc \(W=0\) : aucun travail des forces de pression n'est échangé.

2. \(\Delta U = W+Q = 0+320 = 320\ \text{J}\) : toute l'énergie thermique reçue sert à augmenter l'énergie interne du gaz.

Exercice 5 — Refroidissement d'un bloc métallique par contact★★★★★

Un bloc d'aluminium de masse \(m=500\ \text{g}\), initialement à \(T_1=180\ °\text{C}\), est plongé dans un grand volume d'eau à température constante \(T_{eau}=20\ °\text{C}\) jusqu'à équilibre thermique. Capacité thermique massique de l'aluminium : \(c_{Al}=897\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

  1. Calculer le transfert thermique \(Q\) cédé par le bloc d'aluminium lors de son refroidissement jusqu'à \(20\ °\text{C}\).
  2. En négligeant toute autre transformation, appliquer le premier principe au bloc pour vérifier le signe cohérent de \(Q\) avec un refroidissement.

1. \(Q = mc_{Al}(T_f-T_1) = 0{,}500\times897\times(20-180) = 0{,}500\times897\times(-160) \approx -71\,760\ \text{J} \approx -71{,}8\ \text{kJ}\).

2. Le volume du bloc solide varie très peu, donc \(W\approx0\) et \(\Delta U \approx Q \approx -71{,}8\ \text{kJ}\). \(Q\) est négatif : le bloc cède effectivement de l'énergie thermique au milieu extérieur (l'eau), ce qui correspond bien à un refroidissement.

Exercice 6 — Chauffage électrique d'un gaz à volume constant★★★★★

Une résistance électrique plongée dans un gaz enfermé à volume constant dissipe une puissance \(P_{elec}=25\ \text{W}\) pendant \(\Delta t=4{,}0\ \text{min}\). On considère que toute l'énergie électrique est transférée sous forme thermique au gaz.

  1. Calculer l'énergie électrique totale \(E_{elec}\) dissipée.
  2. En identifiant \(Q=E_{elec}\) et en utilisant le fait que \(W=0\) à volume constant, calculer \(\Delta U\) du gaz.

1. \(\Delta t = 4{,}0\times60 = 240\ \text{s}\). \(E_{elec} = P_{elec}\times\Delta t = 25\times240 = 6000\ \text{J} = 6{,}0\ \text{kJ}\).

2. \(Q = E_{elec} = 6{,}0\ \text{kJ}\), \(W=0\) (volume constant). \(\Delta U = W+Q = 0+6{,}0 = 6{,}0\ \text{kJ}\).

Exercice 7 — Cycle complet et bilan énergétique★★★★★

Un gaz subit une transformation cyclique en trois étapes qui le ramène à son état initial :

Étape 1 : \(W_1=+200\ \text{J}\), \(Q_1=-50\ \text{J}\)
Étape 2 : \(W_2=0\ \text{J}\), \(Q_2=+120\ \text{J}\)
Étape 3 : \(W_3=-180\ \text{J}\), \(Q_3=Q_3\ \text{(inconnu)}\)
  1. Justifier que la variation d'énergie interne sur un cycle complet est nulle.
  2. Calculer \(\Delta U_1\), \(\Delta U_2\) puis en déduire \(\Delta U_3\) à partir de la condition du cycle.
  3. En déduire la valeur du transfert thermique \(Q_3\) de la troisième étape.

1. L'énergie interne est une fonction d'état : elle ne dépend que de l'état du système, pas du chemin suivi. Sur un cycle, l'état final est identique à l'état initial, donc \(\Delta U_{cycle} = \Delta U_1+\Delta U_2+\Delta U_3 = 0\).

2. \(\Delta U_1 = W_1+Q_1 = 200-50=150\ \text{J}\). \(\Delta U_2 = W_2+Q_2 = 0+120=120\ \text{J}\).

\(\Delta U_3 = -(\Delta U_1+\Delta U_2) = -(150+120) = -270\ \text{J}\).

3. \(\Delta U_3 = W_3+Q_3 \Rightarrow Q_3 = \Delta U_3-W_3 = -270-(-180) = -90\ \text{J}\).

Exercice 8 — Bilan thermique d'un radiateur électrique (type bac)★★★★★

Un radiateur électrique de puissance \(P=1500\ \text{W}\) chauffe l'air d'une pièce fermée assimilée à un système à volume constant. La pièce contient une masse d'air \(m_{air}=90\ \text{kg}\) de capacité thermique massique \(c_{air}=1005\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\). On néglige toute perte thermique vers l'extérieur pendant le fonctionnement.

  1. Justifier que \(W=0\) et que \(Q\) correspond ici à l'énergie électrique fournie par le radiateur.
  2. Calculer l'énergie thermique \(Q\) fournie pendant \(\Delta t = 20\ \text{min}\).
  3. En déduire l'élévation de température \(\Delta T\) de l'air de la pièce pendant cette durée.

1. Le volume de la pièce (fermée, rigide) est constant, donc \(W=-P\Delta V=0\). Toute l'énergie électrique dissipée par effet Joule est transférée à l'air sous forme thermique : \(Q=E_{elec}\).

2. \(\Delta t = 20\times60=1200\ \text{s}\). \(Q = P\times\Delta t = 1500\times1200 = 1{,}8\times10^6\ \text{J} = 1800\ \text{kJ}\).

3. \(\Delta U = Q = m_{air}c_{air}\Delta T \Rightarrow \Delta T = \dfrac{Q}{m_{air}c_{air}} = \dfrac{1{,}8\times10^6}{90\times1005} \approx \dfrac{1{,}8\times10^6}{9{,}045\times10^4} \approx 19{,}9\ °\text{C}\).

Exercice 9 — Compression isotherme d'un gaz parfait★★★★★

Une mole de gaz parfait subit une compression isotherme (température constante \(T=300\ \text{K}\)) réversible, de \(V_1=10\ \text{L}\) à \(V_2=4{,}0\ \text{L}\). Pour une transformation isotherme réversible d'un gaz parfait, le travail reçu s'écrit \(W = -nRT\ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)\), avec \(R=8{,}314\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

  1. Justifier que \(\Delta U = 0\) pour cette transformation (on rappelle que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température).
  2. Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz.
  3. En déduire le transfert thermique \(Q\) échangé, et interpréter son signe.

1. Pour un gaz parfait, \(U\) ne dépend que de \(T\) (première loi de Joule). La température étant constante (\(T_1=T_2\)), \(\Delta U = 0\).

2. \(W = -nRT\ln\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right) = -1\times8{,}314\times300\times\ln\left(\dfrac{4{,}0}{10}\right) = -2494\times\ln(0{,}4)\).

\(\ln(0{,}4)\approx-0{,}916\), donc \(W \approx -2494\times(-0{,}916) \approx +2285\ \text{J}\).

3. \(\Delta U = W+Q = 0 \Rightarrow Q = -W \approx -2285\ \text{J}\). Le gaz reçoit du travail (compression, \(W>0\)) et doit céder exactement la même quantité d'énergie thermique au milieu extérieur (\(Q<0\)) pour que sa température reste constante.

Exercice 10 — Rendement d'un chauffe-eau (type bac)★★★★★

Un chauffe-eau électrique de puissance nominale \(P=2000\ \text{W}\) doit chauffer \(m=150\ \text{L}\) d'eau de \(T_1=15\ °\text{C}\) à \(T_2=60\ °\text{C}\). On donne \(c_{eau}=4185\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\), \(1\ \text{L d'eau} \approx 1\ \text{kg}\). Le rendement réel de l'appareil (tenant compte des pertes thermiques vers l'extérieur pendant le chauffage) est de \(\eta=88\%\).

  1. Calculer l'énergie thermique théorique \(Q_{utile}\) nécessaire pour chauffer l'eau (on supposera \(W\approx0\) et \(\Delta U\approx Q_{utile}\)).
  2. En tenant compte du rendement, calculer l'énergie électrique réelle \(E_{elec}\) consommée.
  3. En déduire la durée de chauffe nécessaire, en heures et minutes.
  4. Sachant que l'électricité coûte \(0{,}22\ €/\text{kWh}\), calculer le coût de cette chauffe.

1. \(Q_{utile} = mc_{eau}(T_2-T_1) = 150\times4185\times(60-15) = 150\times4185\times45 \approx 2{,}825\times10^{7}\ \text{J} \approx 28{,}25\ \text{MJ}\).

2. \(\eta = \dfrac{Q_{utile}}{E_{elec}} \Rightarrow E_{elec} = \dfrac{Q_{utile}}{\eta} = \dfrac{28{,}25}{0{,}88} \approx 32{,}1\ \text{MJ}\).

3. \(\Delta t = \dfrac{E_{elec}}{P} = \dfrac{32{,}1\times10^{6}}{2000} \approx 16\,050\ \text{s} \approx 4{,}46\ \text{h} \approx 4\text{h}\,27\text{min}\).

4. \(E_{elec}\) en kWh : \(\dfrac{32{,}1\times10^6}{3{,}6\times10^6} \approx 8{,}92\ \text{kWh}\). Coût : \(8{,}92\times0{,}22 \approx 1{,}96\ €\).