Exercices — Loi de Newton du refroidissement

Exercice 1 — Lecture d'une courbe de refroidissement★★★★★

Une tasse de café refroidit dans une pièce à \(T_{ext}=20\ °\text{C}\). Sa température suit la loi de Newton du refroidissement.

Rappeler l'allure qualitative de la courbe \(T(t)\) : est-elle une droite, une exponentielle croissante, ou une exponentielle décroissante ?
Vers quelle valeur la température du café tend-elle lorsque \(t\to+\infty\) ?

1. \(T(t)\) suit une exponentielle décroissante : la température diminue rapidement au début puis de plus en plus lentement, en s'approchant asymptotiquement de la température ambiante.

2. \(T(t) \to T_{ext} = 20\ °\text{C}\) : le café finit par atteindre la température de la pièce.

Exercice 2 — Vérification de l'équation différentielle★★★★★

La loi de Newton du refroidissement s'écrit \(\dfrac{dT}{dt} = -k(T-T_{ext})\), avec \(k>0\) une constante caractéristique du système.

Justifier, à partir de cette équation, que la température décroît toujours plus vite lorsque l'écart \((T-T_{ext})\) est grand.
Que vaut \(\dfrac{dT}{dt}\) lorsque \(T=T_{ext}\) ? Interpréter physiquement ce résultat.

1. \(\dfrac{dT}{dt}\) est proportionnelle à \(-(T-T_{ext})\) : plus l'écart \((T-T_{ext})\) est grand, plus \(\left|\dfrac{dT}{dt}\right|\) est grand, donc plus la température varie rapidement.

2. Si \(T=T_{ext}\), alors \(\dfrac{dT}{dt}=0\) : la température n'évolue plus, le système est à l'équilibre thermique avec l'extérieur.

Exercice 3 — Utilisation directe de la solution exponentielle★★★★★

Un objet à \(T_0=90\ °\text{C}\) est placé dans une pièce à \(T_{ext}=20\ °\text{C}\). Sa température suit \(T(t)=T_{ext}+(T_0-T_{ext})e^{-kt}\), avec \(k=0{,}02\ \text{min}^{-1}\).

Écrire l'expression numérique complète de \(T(t)\) (avec \(t\) en minutes).
Calculer la température de l'objet après \(t=15\ \text{min}\).

1. \(T(t) = 20+(90-20)e^{-0{,}02t} = 20+70\,e^{-0{,}02t}\).

2. \(T(15) = 20+70\,e^{-0{,}02\times15} = 20+70\,e^{-0{,}3} \approx 20+70\times0{,}741 \approx 20+51{,}9 \approx 71{,}9\ °\text{C}\).

Exercice 4 — Constante de temps τ★★★★★

Pour la loi de Newton du refroidissement, la constante de temps est définie par \(\tau=\dfrac{1}{k}\).

Un système a une constante \(k=0{,}05\ \text{s}^{-1}\). Calculer sa constante de temps \(\tau\).
On admet qu'au bout d'une durée \(t=\tau\), l'écart \((T-T_{ext})\) a été réduit d'un facteur \(e\approx2{,}718\). Si l'écart initial est de \(60\ °\text{C}\), calculer l'écart restant après une durée \(t=\tau\).

1. \(\tau = \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{0{,}05} = 20\ \text{s}\).

2. Après \(t=\tau\), \(T(t)-T_{ext} = (T_0-T_{ext})e^{-1} = \dfrac{60}{e} \approx \dfrac{60}{2{,}718} \approx 22{,}1\ °\text{C}\).

Exercice 5 — Détermination de k à partir d'une mesure★★★★★

Un objet initialement à \(T_0=100\ °\text{C}\), placé dans une ambiance à \(T_{ext}=25\ °\text{C}\), atteint \(T=60\ °\text{C}\) après \(t=10\ \text{min}\).

Écrire l'équation vérifiée par \(k\) à partir de \(T(t)=T_{ext}+(T_0-T_{ext})e^{-kt}\) et des données de l'énoncé.
Isoler \(k\) en utilisant le logarithme népérien, puis calculer sa valeur numérique (en \(\text{min}^{-1}\)).

1. \(60 = 25+(100-25)e^{-10k} \Rightarrow 35 = 75\,e^{-10k} \Rightarrow e^{-10k}=\dfrac{35}{75}=\dfrac{7}{15}\approx0{,}467\).

2. \(-10k = \ln(0{,}467) \approx -0{,}762 \Rightarrow k \approx \dfrac{0{,}762}{10} \approx 0{,}0762\ \text{min}^{-1}\).

Exercice 6 — Temps nécessaire pour atteindre une température cible★★★★★

Un plat sortant du four à \(T_0=200\ °\text{C}\) refroidit dans une cuisine à \(T_{ext}=22\ °\text{C}\), avec une constante \(k=0{,}04\ \text{min}^{-1}\). On souhaite savoir au bout de combien de temps le plat atteint \(T=50\ °\text{C}\) (température jugée sûre pour être servi).

Écrire l'équation à résoudre en \(t\).
Isoler \(t\) à l'aide du logarithme népérien, puis calculer sa valeur.

1. \(50 = 22+(200-22)e^{-0{,}04t} \Rightarrow 28 = 178\,e^{-0{,}04t} \Rightarrow e^{-0{,}04t} = \dfrac{28}{178} \approx 0{,}1573\).

2. \(-0{,}04t = \ln(0{,}1573) \approx -1{,}850 \Rightarrow t \approx \dfrac{1{,}850}{0{,}04} \approx 46{,}3\ \text{min}\).

Exercice 7 — Refroidissement dans deux ambiances différentes★★★★★

Deux échantillons identiques, initialement à \(T_0=95\ °\text{C}\) et de même constante \(k=0{,}03\ \text{min}^{-1}\), sont placés l'un dans une pièce à \(T_{ext,1}=20\ °\text{C}\), l'autre dans une chambre froide à \(T_{ext,2}=4\ °\text{C}\).

Écrire les expressions de \(T_1(t)\) et \(T_2(t)\) pour chaque échantillon.
Calculer la température de chaque échantillon après \(t=20\ \text{min}\).
Lequel des deux échantillons a subi la plus grande baisse de température en valeur absolue sur ces 20 minutes ? Interpréter à partir de l'équation différentielle.

1. \(T_1(t) = 20+(95-20)e^{-0{,}03t} = 20+75\,e^{-0{,}03t}\). \(T_2(t) = 4+(95-4)e^{-0{,}03t} = 4+91\,e^{-0{,}03t}\).

2. \(e^{-0{,}03\times20}=e^{-0{,}6}\approx0{,}549\).

\(T_1(20) = 20+75\times0{,}549 \approx 20+41{,}2 \approx 61{,}2\ °\text{C}\). Baisse : \(95-61{,}2=33{,}8\ °\text{C}\).

\(T_2(20) = 4+91\times0{,}549 \approx 4+50{,}0 \approx 54{,}0\ °\text{C}\). Baisse : \(95-54{,}0=41{,}0\ °\text{C}\).

3. L'échantillon 2 (chambre froide) a subi la plus grande baisse. Cela s'explique par l'équation différentielle : \(\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_{ext})\) — l'écart initial \((T_0-T_{ext})\) est plus grand pour l'échantillon 2 (91 °C contre 75 °C), donc sa vitesse de refroidissement initiale est plus rapide.

Exercice 8 — Enquête policière : heure du décès (modèle simplifié, type bac)★★★★★

Un corps est découvert à \(T=28{,}0\ °\text{C}\) dans une pièce maintenue à \(T_{ext}=18{,}0\ °\text{C}\). On admet qu'à l'instant du décès (\(t=0\)), la température du corps était \(T_0=37{,}0\ °\text{C}\) (température corporelle normale), et que le refroidissement suit la loi de Newton avec \(k=0{,}015\ \text{h}^{-1}\).

Écrire l'expression de \(T(t)\).
Calculer la durée \(t\) écoulée depuis le décès jusqu'à la découverte du corps, en heures.
Discuter une limite importante de ce modèle simplifié pour une estimation médico-légale réelle.

1. \(T(t) = 18{,}0+(37{,}0-18{,}0)e^{-0{,}015t} = 18{,}0+19{,}0\,e^{-0{,}015t}\).

2. \(28{,}0 = 18{,}0+19{,}0\,e^{-0{,}015t} \Rightarrow 10{,}0 = 19{,}0\,e^{-0{,}015t} \Rightarrow e^{-0{,}015t} = \dfrac{10{,}0}{19{,}0}\approx0{,}526\).

\(-0{,}015t = \ln(0{,}526) \approx -0{,}642 \Rightarrow t \approx \dfrac{0{,}642}{0{,}015} \approx 42{,}8\ \text{h}\).

3. Ce modèle suppose \(k\) et \(T_{ext}\) parfaitement constants pendant toute la durée, ce qui est irréaliste sur près de 43 h (variations de température ambiante jour/nuit, habillement, morphologie, décomposition qui modifie les échanges thermiques...). En pratique, ce modèle n'est fiable que sur les toutes premières heures suivant le décès.

Exercice 9 — Origine physique de la constante k★★★★★

Pour un objet de masse \(m\), de capacité thermique massique \(c\), et de surface d'échange \(S\) avec l'air ambiant, un bilan d'énergie sur une durée \(dt\) permet de montrer que \(k=\dfrac{hS}{mc}\), où \(h\) est le coefficient d'échange thermique surfacique (en \(\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}\)).

On considère une sphère métallique de masse \(m=0{,}80\ \text{kg}\), de capacité thermique massique \(c=450\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\), de surface \(S=0{,}030\ \text{m}^2\), avec \(h=12\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}\).

Calculer la valeur de \(k\) pour cet objet, et sa constante de temps \(\tau=1/k\).
Si on remplace cette sphère par une sphère deux fois plus massive mais de même matériau et de forme géométriquement semblable (donc de surface \(S\) multipliée par \(2^{2/3}\approx1{,}587\)), la constante de temps \(\tau\) augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? Justifier qualitativement à partir de la formule de \(k\), sans recalculer précisément.

1. \(k = \dfrac{hS}{mc} = \dfrac{12\times0{,}030}{0{,}80\times450} = \dfrac{0{,}36}{360} = 1{,}0\times10^{-3}\ \text{s}^{-1}\).

\(\tau = \dfrac{1}{k} = 1000\ \text{s} \approx 16{,}7\ \text{min}\).

2. \(k=\dfrac{hS}{mc}\) : la masse \(m\) est multipliée par 2, mais la surface \(S\) n'est multipliée que par \(2^{2/3}\approx1{,}587\) (car pour un objet 3D, le volume — donc la masse — croît comme le cube d'une longueur caractéristique, tandis que la surface croît comme le carré). Le rapport \(S/m\) diminue donc lorsque l'objet grossit, donc \(k\) diminue, donc \(\tau=1/k\) augmente : un objet plus gros (mais de même forme et matériau) refroidit relativement plus lentement — c'est le même principe qui explique pourquoi un grand animal perd proportionnellement moins de chaleur qu'un petit.

Exercice 10 — Détermination graphique de k par linéarisation★★★★★

On souhaite déterminer expérimentalement la constante \(k\) d'un système à partir de mesures de \(T(t)\), avec \(T_{ext}=19{,}0\ °\text{C}\) déterminé séparément. On dispose des mesures suivantes :

\(t=0\ \text{min}\) : \(T=80{,}0\ °\text{C}\) \(t=8\ \text{min}\) : \(T=52{,}3\ °\text{C}\)

Montrer qu'en posant \(y=\ln(T-T_{ext})\), l'équation \(T(t)=T_{ext}+(T_0-T_{ext})e^{-kt}\) se réécrit sous une forme affine \(y=at+b\), et identifier \(a\) et \(b\).
Calculer \(y_0=\ln(T_0-T_{ext})\) et \(y_1=\ln(T(8)-T_{ext})\) à partir des mesures.
En déduire la valeur de \(k\) à partir de la pente \(a=\dfrac{y_1-y_0}{8-0}\).

1. \(T-T_{ext} = (T_0-T_{ext})e^{-kt} \Rightarrow \ln(T-T_{ext}) = \ln(T_0-T_{ext}) - kt\). En posant \(y=\ln(T-T_{ext})\), on a \(y = -k\,t + \ln(T_0-T_{ext})\) : c'est une fonction affine de \(t\), de pente \(a=-k\) et d'ordonnée à l'origine \(b=\ln(T_0-T_{ext})\).

2. \(y_0 = \ln(80{,}0-19{,}0) = \ln(61{,}0) \approx 4{,}111\).

\(y_1 = \ln(52{,}3-19{,}0) = \ln(33{,}3) \approx 3{,}506\).

3. \(a = \dfrac{3{,}506-4{,}111}{8-0} = \dfrac{-0{,}605}{8} \approx -0{,}0756\ \text{min}^{-1}\).

Comme \(a=-k\), on obtient \(k \approx 0{,}0756\ \text{min}^{-1}\). Cette méthode de linéarisation (tracé de \(\ln(T-T_{ext})\) en fonction de \(t\)) permet de déterminer \(k\) expérimentalement à partir de plusieurs points de mesure, même sans connaître sa valeur a priori.