Rappel express — avant de commencer

⏱️ 2 min · pré-requis pour comprendre le coefficient h

Avant de modéliser le refroidissement, un rappel utile : une casserole d'eau posée sur le feu échange de l'énergie thermique avec son environnement par trois mécanismes distincts, qui coexistent toujours mais dans des proportions différentes selon la situation.

Déjà solide sur ces trois notions ? Passer directement à l'introduction →

■ Conduction — transfert de proche en proche à travers la paroi métallique, par contact direct (le foyer chauffe le métal, qui chauffe l'eau). ■ Convection — l'eau chauffée au fond devient moins dense, remonte, et cède sa chaleur en surface : c'est le mouvement du fluide qui transporte l'énergie. ■ Rayonnement — la flamme émet de l'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques, sans qu'il y ait besoin de contact ni de matière entre les deux corps.

Le modèle de Newton ne distingue pas ces trois mécanismes : ils sont regroupés dans un unique coefficient d'échange h (parfois dominé par la convection, parfois par le rayonnement selon la situation). C'est une simplification volontaire, à garder en tête pour ne pas la confondre avec un mécanisme physique unique.

1. Pourquoi un temps caractéristique ?

🎯 Objectif bac : établir et exploiter \(T(t)=T_\infty+(T_0-T_\infty)e^{-t/\tau}\)

Placé en contact avec un thermostat (température constante T∞), un système ne rejoint pas l'équilibre instantanément : il s'en approche exponentiellement, avec une vitesse caractérisée par τ.

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Le café qui refroidit

τ de quelques dizaines de minutes : la température baisse vite au début, puis de plus en plus lentement en s'approchant de la température ambiante.

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Le thermomètre

Sa propre capacité thermique lui donne une inertie : il faut un temps τ pour qu'il affiche la vraie température du milieu mesuré.

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Un bloc de granit

Grande masse, grande capacité thermique : τ se compte en heures, voire en jours pour de gros blocs rocheux.

🔥

Le four qui préchauffe

Même principe en sens inverse : la température monte vers la consigne selon la même loi exponentielle.

Cette équation différentielle est mathématiquement identique à celle du circuit RC — même structure, même solution, même repères (63 %, 95 %, 99 %).

2. Refroidissement (ou réchauffement), en direct

Un objet à température T₀ est plongé dans une ambiance à T∞. Sa température évolue réellement au cours du temps ; la courbe se trace point par point pendant que le système échange de l'énergie.

Loi de Newton — évolution vers l'équilibre thermique

3. Établir et résoudre l'équation différentielle

🎯 Objectif bac : établir l'équation puis la résoudre par changement de variable

a

Un système à température T, en contact avec un thermostat à \(T_\infty\), échange une puissance par convection (loi de Newton) :

\(P_{perdue} = hA(T-T_\infty)\)

\(h\) : coefficient d'échange (W·m⁻²·K⁻¹), \(A\) : surface de contact.

b

Sans travail, le premier principe donne \(\Delta U = Q\), soit en puissance \(mc\dfrac{dT}{dt} = -P_{perdue}\) (le signe − traduit une perte) :

\(mc\dfrac{dT}{dt} = -hA(T-T_\infty)\)

\(\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{1}{\tau}(T-T_\infty) = 0 \quad\text{avec}\quad \tau=\dfrac{mc}{hA}\)

τ (en secondes) caractérise la vitesse de relaxation : plus τ est grand, plus l'évolution est lente.

c

Résolution par changement de variable \(u=T-T_\infty\) : l'équation devient \(\dfrac{du}{dt}+\dfrac{u}{\tau}=0\), de solution \(u=Ke^{-t/\tau}\). Avec la condition initiale \(T(0)=T_0\), on a \(K=T_0-T_\infty\) :

\(T(t) = T_\infty + (T_0-T_\infty)\,e^{-t/\tau}\)

La température tend exponentiellement vers celle du thermostat.

4. Propriétés du temps caractéristique

🎯 Objectif bac : relier τ aux paramètres physiques du système

a

Facteurs qui contrôlent τ :

\(\tau=\dfrac{mc}{hA}\)

Si m ou c augmentent (plus grande inertie thermique), τ augmente : l'évolution est plus lente. Si h ou A augmentent (meilleur échange), τ diminue : l'évolution est plus rapide.

b

Ordres de grandeur : une tasse de café a \(\tau\approx10\) min, un bloc de granit \(\tau\approx\) plusieurs heures.

Tableau de synthèse — repères de τ

Instant	Écart restant \((T-T_\infty)/(T_0-T_\infty)\)
t = 0	100 %
t = τ	≈ 37 % (e⁻¹)
t = 3τ	≈ 5 % (e⁻³)
t = 5τ	≈ 0,7 % (e⁻⁵) — régime permanent

Ces repères sont identiques à ceux de la décharge d'un condensateur : même équation différentielle, même solution mathématique.

✅ Quiz d'étape — loi de Newton

1. On double la masse m de l'objet (à h, A, c fixés). Le temps caractéristique τ :

2. Après un temps t = 3τ, l'écart à l'équilibre restant est d'environ :

3. On améliore l'échange thermique (augmentation de h, ventilation par exemple). L'évolution vers l'équilibre devient :

🔍 Questions guidées — exploiter le simulateur

Réglez le simulateur ci-dessus ; la correction se dévoile à la demande.

🎓 Exercice type bac — corrigé détaillé

Refroidissement d'une tasse de café : temps caractéristique, évolution temporelle, stratégies d'accélération.

Refroidissement d'une tasse de café

D'après un sujet de type baccalauréat · durée conseillée 40 min · calculatrice autorisée

Données. Café à \(T_0=90°\text{C}\) placé dans une salle à \(T_\infty=20°\text{C}\). Capacité thermique tasse+café \(mc=1000\ \text{J/K}\). Coefficient d'échange \(h=5\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}\), surface \(A=0{,}04\ \text{m}^2\).

Partie 1 — Temps caractéristique

Calculer \(\tau=mc/(hA)\).
Le café se refroidit-il rapidement ou lentement ?

1. \(\tau = \dfrac{mc}{hA} = \dfrac{1000}{5\times0{,}04} = \dfrac{1000}{0{,}2} =\) 5000 s ≈ 83,3 min ≈ 1 h 23 min.

2. τ est important (plus d'une heure) : le café se refroidit lentement. À \(t=\tau\), l'écart initial aurait déjà baissé de 63 %.

Partie 2 — Température après 10 minutes

Calculer \(T(t=600\ \text{s})\).

3. \(T(600) = 20+(90-20)e^{-600/5000} = 20+70\,e^{-0{,}12} \approx 20+70\times0{,}887 \approx\) 82,1°C. Le café reste très chaud après 10 min : τ étant grand, le refroidissement est lent.

Partie 3 — Temps pour atteindre 40°C

Résoudre \(40 = 20+70\,e^{-t/\tau}\) pour t.

4. \(e^{-t/5000} = \dfrac{20}{70} = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}286\). D'où \(t = -5000\ln(0{,}286) \approx 5000\times1{,}253 \approx\) 6260 s ≈ 104 min ≈ 1 h 44 min (soit environ 1,25 τ).

Partie 4 — Accélérer le refroidissement

Proposer des modifications réalistes pour accélérer le refroidissement, en s'appuyant sur \(\tau=mc/(hA)\).

5. Pour diminuer τ : augmenter h (ventiler, souffler — convection forcée), augmenter A (verser dans une assiette large), ou diminuer m (ne remplir qu'un tiers de la tasse). La capacité thermique massique c est une propriété du matériau, non modifiable directement. Un simple courant d'air peut réduire τ d'un facteur 2 à 3.

📐 Formules à connaître — référentiel indispensable

Équation différentielle

\(\frac{dT}{dt}+\frac{T-T_\infty}{\tau}=0\)

1ᵉʳ ordre

Temps caractéristique

\(\tau=\dfrac{mc}{hA}\)

en secondes

Solution générale

\(T(t)=T_\infty+(T_0-T_\infty)e^{-t/\tau}\)

évolution exponentielle

Puissance perdue

\(P=hA(T-T_\infty)\)

convection

✅ Quiz final — tout le chapitre

1. mc = 500 J/K, h = 4 W·m⁻²·K⁻¹, A = 0,25 m². Que vaut τ ?

2. Un objet à 80°C refroidit vers 20°C avec τ = 200 s. Sa température à t = 200 s vaut :

3. Pour considérer que le régime permanent est atteint, on attend généralement :

4. Pour accélérer le refroidissement d'un objet, on peut :

5. L'équation \(\frac{dT}{dt}+\frac{T-T_\infty}{\tau}=0\) est mathématiquement identique à celle :

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🧠 Carte mentale du chapitre

Loi de Newton

Équation

\(P=hA(T-T_\infty)\)
\(\frac{dT}{dt}+\frac{T-T_\infty}{\tau}=0\)

Solution

\(T(t)=T_\infty+(T_0-T_\infty)e^{-t/\tau}\)
évolution exponentielle

Temps caractéristique

\(\tau=mc/(hA)\)
63% à τ, 95% à 3τ, 99,3% à 5τ

Analogie

Identique au circuit RC
\(\tau=RC \leftrightarrow \tau=mc/(hA)\)

🎓 Points à retenir pour le bac

L'essentiel en 5 points

✓Équation différentielle : \(\frac{dT}{dt}+\frac{T-T_\infty}{\tau}=0\), avec \(\tau=mc/(hA)\).

✓Solution : \(T(t)=T_\infty+(T_0-T_\infty)e^{-t/\tau}\) — évolution exponentielle vers l'équilibre.

✓Repères : 37 % restant à t=τ, 5 % à 3τ, régime permanent atteint vers 5τ.

✓↑m ou ↑c ⟹ τ augmente (plus lent) ; ↑h ou ↑A ⟹ τ diminue (plus rapide).

✓Même équation différentielle que la charge/décharge d'un condensateur RC.

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Loi de Newton : refroidissement et temps caractéristique