Terminale spécialité · Thermodynamique

Exercices — Gaz parfait

10 exercices à difficulté croissante : loi des gaz parfaits, transformations isochore/isotherme, modèle cinétique.

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Exercice 1 — Application directe de la loi des gaz parfaits★★★★★

Une mole de gaz parfait est enfermée dans un volume \(V=24{,}6\ \text{L}\) à la température \(T=300\ \text{K}\). On donne \(R=8{,}314\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\).

  1. Rappeler la loi des gaz parfaits.
  2. Calculer la pression \(P\) du gaz (en Pa, puis en bar).

1. \(PV=nRT\).

2. \(P = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{1\times8{,}314\times300}{24{,}6\times10^{-3}} = \dfrac{2494{,}2}{0{,}0246} \approx 1{,}014\times10^{5}\ \text{Pa} \approx 1{,}01\ \text{bar}\) (proche de la pression atmosphérique, comme attendu dans des conditions standard).

Exercice 2 — Quantité de matière dans un pneu★★★★★

Un pneu de volume \(V=25\ \text{L}\) est gonflé à une pression \(P=2{,}5\times10^5\ \text{Pa}\), à une température \(T=293\ \text{K}\).

  1. Convertir le volume en \(\text{m}^3\).
  2. Calculer la quantité de matière d'air \(n\) contenue dans le pneu.

1. \(V = 25\times10^{-3}\ \text{m}^3 = 2{,}5\times10^{-2}\ \text{m}^3\).

2. \(n = \dfrac{PV}{RT} = \dfrac{2{,}5\times10^5\times2{,}5\times10^{-2}}{8{,}314\times293} = \dfrac{6250}{2436} \approx 2{,}57\ \text{mol}\).

Exercice 3 — Transformation isochore : évolution de la pression★★★★★

Un gaz parfait est enfermé dans une bouteille rigide (volume constant). Sa pression initiale est \(P_1=3{,}0\times10^5\ \text{Pa}\) à \(T_1=290\ \text{K}\). On chauffe le gaz jusqu'à \(T_2=350\ \text{K}\).

  1. À partir de \(PV=nRT\) et du fait que \(n\) et \(V\) sont constants, établir la relation entre \(P_1\), \(T_1\), \(P_2\) et \(T_2\).
  2. Calculer la nouvelle pression \(P_2\).

1. \(PV=nRT \Rightarrow \dfrac{P}{T}=\dfrac{nR}{V}=\text{cste}\), donc \(\dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}\) (loi de Gay-Lussac).

2. \(P_2 = P_1\times\dfrac{T_2}{T_1} = 3{,}0\times10^5\times\dfrac{350}{290} \approx 3{,}62\times10^{5}\ \text{Pa}\).

Exercice 4 — Transformation isotherme : évolution du volume★★★★★

Une bulle de gaz, à température constante, remonte dans l'eau. En surface, sa pression est \(P_1=1{,}0\times10^5\ \text{Pa}\) et son volume \(V_1=8{,}0\ \text{mL}\). Au fond, sa pression était \(P_2=3{,}5\times10^5\ \text{Pa}\).

  1. Rappeler la loi de Boyle-Mariotte pour une transformation isotherme.
  2. Calculer le volume \(V_2\) de la bulle au fond de l'eau.

1. À température constante, \(PV=\text{cste}\), donc \(P_1V_1=P_2V_2\).

2. \(V_2 = \dfrac{P_1V_1}{P_2} = \dfrac{1{,}0\times10^5\times8{,}0}{3{,}5\times10^5} \approx 2{,}29\ \text{mL}\) : la bulle était plus petite en profondeur (pression plus grande), et grossit en remontant.

Exercice 5 — Vitesse quadratique moyenne des molécules★★★★★

Le modèle cinétique du gaz parfait relie la vitesse quadratique moyenne \(v_{QM}\) des molécules à la température par \(\frac{1}{2}mv_{QM}^2 = \frac{3}{2}k_BT\), avec \(k_B=1{,}38\times10^{-23}\ \text{J/K}\). On étudie du diazote \(\text{N}_2\) (masse molaire \(M=28\ \text{g/mol}\)) à \(T=300\ \text{K}\).

  1. Calculer la masse \(m\) d'une molécule de \(\text{N}_2\) (on donne \(N_A=6{,}02\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}\)).
  2. En déduire l'expression de \(v_{QM}\), puis sa valeur numérique.

1. \(m = \dfrac{M}{N_A} = \dfrac{28\times10^{-3}}{6{,}02\times10^{23}} \approx 4{,}65\times10^{-26}\ \text{kg}\).

2. \(v_{QM} = \sqrt{\dfrac{3k_BT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3\times1{,}38\times10^{-23}\times300}{4{,}65\times10^{-26}}} = \sqrt{\dfrac{1{,}242\times10^{-20}}{4{,}65\times10^{-26}}} = \sqrt{2{,}67\times10^{5}} \approx 517\ \text{m/s}\).

Exercice 6 — Masse volumique d'un gaz parfait★★★★★

On souhaite exprimer la masse volumique \(\rho\) d'un gaz parfait de masse molaire \(M\) en fonction de \(P\), \(M\), \(R\) et \(T\).

  1. À partir de \(PV=nRT\) et de \(n=\dfrac{m}{M}\), établir l'expression de \(\rho=\dfrac{m}{V}\) en fonction de \(P\), \(M\), \(R\) et \(T\).
  2. Application numérique : calculer la masse volumique de l'air (\(M\approx29\ \text{g/mol}\)) dans les conditions usuelles \(P=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}\), \(T=293\ \text{K}\).

1. \(PV=nRT=\dfrac{m}{M}RT \Rightarrow \dfrac{m}{V}=\dfrac{PM}{RT} \Rightarrow \rho = \dfrac{PM}{RT}\).

2. \(\rho = \dfrac{1{,}013\times10^5\times29\times10^{-3}}{8{,}314\times293} = \dfrac{2937{,}7}{2436} \approx 1{,}21\ \text{kg/m}^3\) (valeur conforme à la masse volumique connue de l'air, ≈1,2 kg/m³).

Exercice 7 — Détente d'un gaz avec variation simultanée de P, V et T★★★★★

Un gaz parfait occupe un volume \(V_1=5{,}0\ \text{L}\) à \(P_1=4{,}0\times10^5\ \text{Pa}\) et \(T_1=310\ \text{K}\). Il subit une transformation vers un état \(2\) où \(V_2=9{,}0\ \text{L}\) et \(T_2=280\ \text{K}\).

  1. En combinant les lois pour les deux états successifs (avec \(n\) constant), établir la relation \(\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_2V_2}{T_2}\).
  2. Calculer la pression finale \(P_2\).

1. \(PV=nRT \Rightarrow \dfrac{PV}{T}=nR=\text{cste}\) (car \(n\) fixé), donc \(\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_2V_2}{T_2}\).

2. \(P_2 = P_1\times\dfrac{V_1}{V_2}\times\dfrac{T_2}{T_1} = 4{,}0\times10^5\times\dfrac{5{,}0}{9{,}0}\times\dfrac{280}{310} \approx 4{,}0\times10^5\times0{,}556\times0{,}903 \approx 2{,}01\times10^{5}\ \text{Pa}\).

Exercice 8 — Énergie interne d'un gaz parfait monoatomique★★★★★

Pour un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne molaire s'écrit \(U_m = \dfrac{3}{2}RT\). On étudie \(n=2{,}0\ \text{mol}\) d'hélium, initialement à \(T_1=280\ \text{K}\), chauffé jusqu'à \(T_2=420\ \text{K}\) à volume constant.

  1. Établir l'expression de la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz en fonction de \(n\), \(R\) et \(\Delta T\).
  2. Calculer numériquement \(\Delta U\).
  3. À volume constant, en déduire le transfert thermique \(Q\) reçu par le gaz (relier au premier principe).

1. \(\Delta U = n\Delta U_m = n\times\dfrac{3}{2}R\Delta T = \dfrac{3}{2}nR\Delta T\).

2. \(\Delta T = 420-280=140\ \text{K}\). \(\Delta U = \dfrac{3}{2}\times2{,}0\times8{,}314\times140 \approx \dfrac{3}{2}\times2327{,}9 \approx 3492\ \text{J} \approx 3{,}49\ \text{kJ}\).

3. À volume constant, \(W=0\), donc \(\Delta U=Q\) : \(Q \approx 3{,}49\ \text{kJ}\) (le gaz reçoit ce transfert thermique).

Exercice 9 — Ballon-sonde en altitude (type bac)★★★★★

Un ballon-sonde gonflé à l'hélium a, au sol, un volume \(V_1=8{,}0\ \text{m}^3\) à \(P_1=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}\) et \(T_1=293\ \text{K}\). Il s'élève jusqu'à une altitude où \(P_2=2{,}0\times10^4\ \text{Pa}\) et \(T_2=230\ \text{K}\).

  1. Calculer la quantité de matière d'hélium \(n\) dans le ballon (constante au cours du vol, l'enveloppe étant étanche).
  2. En déduire le volume \(V_2\) occupé par le gaz à cette altitude.
  3. Commenter l'évolution du volume du ballon lors de son ascension.

1. \(n = \dfrac{P_1V_1}{RT_1} = \dfrac{1{,}013\times10^5\times8{,}0}{8{,}314\times293} = \dfrac{8{,}104\times10^5}{2436} \approx 332{,}7\ \text{mol}\).

2. \(V_2 = \dfrac{nRT_2}{P_2} = \dfrac{332{,}7\times8{,}314\times230}{2{,}0\times10^4} \approx \dfrac{6{,}361\times10^5}{2{,}0\times10^4} \approx 31{,}8\ \text{m}^3\).

3. Le volume est multiplié par environ 4 (de 8,0 à 31,8 m³) : la chute de pression en altitude (facteur ≈5) l'emporte largement sur la baisse de température (facteur ≈0,78), donc le ballon se dilate fortement en montant — c'est pourquoi les ballons-sondes sont lâchés partiellement gonflés au sol.

Exercice 10 — Problème ouvert : comparer deux gaz à même énergie cinétique★★★★★

On compare, à la même température \(T\), du dihydrogène \(\text{H}_2\) (\(M_1=2{,}0\ \text{g/mol}\)) et du dioxygène \(\text{O}_2\) (\(M_2=32\ \text{g/mol}\)). Le modèle cinétique donne, pour chaque gaz, la même énergie cinétique moyenne de translation par molécule : \(\frac{1}{2}mv_{QM}^2=\frac{3}{2}k_BT\).

  1. Sans calcul numérique, exprimer le rapport \(\dfrac{v_{QM,\,H_2}}{v_{QM,\,O_2}}\) en fonction des masses molaires \(M_1\) et \(M_2\) (on remplacera \(m\) par \(M/N_A\) dans l'expression de \(v_{QM}\)).
  2. Calculer numériquement ce rapport, et conclure sur la molécule la plus rapide en moyenne à température donnée.
  3. Sachant qu'à \(T=300\ \text{K}\), \(v_{QM,\,O_2}\approx 484\ \text{m/s}\), en déduire \(v_{QM,\,H_2}\) à la même température.

1. \(v_{QM}=\sqrt{\dfrac{3k_BT}{m}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}\) (en substituant \(k_B=R/N_A\) et \(m=M/N_A\)). Donc \(\dfrac{v_{QM,H_2}}{v_{QM,O_2}} = \sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}\) (à \(T\) identique, tout le reste s'annule).

2. \(\sqrt{\dfrac{32}{2{,}0}} = \sqrt{16} = 4{,}0\). Les molécules de \(\text{H}_2\), 16 fois plus légères, se déplacent en moyenne 4 fois plus vite que celles de \(\text{O}_2\) à la même température (car l'énergie cinétique moyenne, elle, est identique pour les deux gaz).

3. \(v_{QM,H_2} = 4{,}0\times484 \approx 1936\ \text{m/s} \approx 1{,}9\ \text{km/s}\).