Physique · Terminale · Thermodynamique

Le gaz parfait : du microscopique au macroscopique

Un gaz parfait est un modèle idéalisé où les molécules n'interagissent que par des chocs élastiques. À partir de propriétés microscopiques (vitesses, collisions), on retrouve l'équation d'état qui relie pression, volume et température.

Équation d'état · \(PV=nRT\) Constante des gaz · \(R=8{,}314\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}\) Validité · basses densités, hautes températures
1. Pourquoi un modèle de gaz parfait ?
🎯 Objectif bac : exploiter \(PV=nRT\) et son interprétation microscopique

Un gaz réel est un système de milliards de milliards de molécules en mouvement chaotique. Le modèle du gaz parfait permet de prédire son comportement macroscopique (pression, volume, température) à partir de règles microscopiques simples.

🎈
Le ballon d'air chaud
En chauffant l'air, on augmente son volume à pression quasi constante : l'air devient moins dense et le ballon s'élève.
🚲
La pompe à vélo
En comprimant l'air rapidement, on augmente sa pression et sa température : c'est une application directe de PV=nRT.
🏔️
L'altitude en montagne
Pression et température diminuent avec l'altitude, modifiant la densité de l'air — ce que subissent alpinistes et pilotes.
🌡️
Le thermomètre à gaz
Historiquement, on mesurait la température en observant la dilatation d'un gaz à pression constante.
L'équation d'état PV=nRT n'est pas un postulat arbitraire : elle découle directement du comportement chaotique des molécules, comme le montre la section 4.
2. Gaz parfait : explorer l'équation d'état en 3D

Réglez la quantité de matière, la température et le volume. Observez comment la pression change, et comment l'agitation microscopique (couleur et vitesse des particules) reflète la température.

Équation d'état du gaz parfait clic-glisser pour tourner · molette pour zoomer
3. Description macroscopique d'un gaz
🎯 Objectif bac : connaître PV=nRT et son domaine de validité

Un système gazeux est caractérisé par quatre grandeurs liées : pression P (Pa), volume V (m³), quantité de matière n (mol), température T (K).

a
Loi de Mariotte (17ᵉ siècle) : pour une quantité fixe de gaz à température constante,
\(PV = \text{constante}\)
Valable pour la plupart des gaz à pression modérée.
b
En 1834, Clapeyron généralise : le produit PV est proportionnel à n et à T :
\(PV = nRT\)
\(R=8{,}314\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}\) est la constante universelle des gaz — c'est l'équation d'état du gaz parfait.
4. Interprétation microscopique
🎯 Objectif bac : relier grandeurs microscopiques et macroscopiques

À l'échelle moléculaire, un gaz est composé de molécules en mouvement chaotique qui exercent la pression par chocs contre les parois.

a
Pression microscopique : chaque collision transmet une impulsion à la paroi. La pression résulte de la somme de ces impulsions par unité de temps et de surface :
\(P = \dfrac{1}{3}\rho\langle v^2\rangle\)
\(\rho\) est la masse volumique, \(\langle v^2\rangle\) la moyenne des carrés des vitesses moléculaires.
b
Température microscopique : l'énergie cinétique moyenne d'une molécule est liée à la température :
\(\dfrac{3}{2}k_BT = \dfrac{1}{2}m_0\langle v^2\rangle\)
\(k_B=1{,}381\times10^{-23}\ \text{J/K}\) est la constante de Boltzmann, \(m_0\) la masse d'une molécule.
c
En combinant ces deux relations, on retrouve exactement \(PV=nRT\) : l'équation d'état est une conséquence du comportement chaotique des molécules, pas un postulat séparé.
Validité du modèle du gaz parfait

Le modèle du gaz parfait suppose :

HypothèseDomaine de validité
Molécules ponctuelles (pas de volume propre)Densité basse
Chocs élastiques (pas de perte d'énergie)Hautes températures ou basses pressions
Pas d'interactions hors chocsLoin du point de liquéfaction
Le modèle échoue aux hautes pressions (molécules rapprochées) ou basses températures (interactions non négligeables). Pour les gaz réels dans ces conditions, on utilise l'équation de Van der Waals, hors programme de Terminale.
✅ Quiz d'étape — gaz parfait

1. On double la température T (en kelvin), à n et V fixés. La pression P :

2. Le modèle du gaz parfait est le plus fiable :

3. D'après l'interprétation microscopique, l'énergie cinétique moyenne d'une molécule est :

🔍 Questions guidées — exploiter le simulateur

Réglez le simulateur 3D ci-dessus ; la correction se dévoile à la demande.

🎓 Exercice type bac — corrigé détaillé

Application de l'équation d'état à un ballon d'air chaud en montagne.

Ballon d'air chaud en montagne
D'après un sujet de type baccalauréat · durée conseillée 30 min · calculatrice autorisée
Situation. Un ballon d'air chaud, souple et non rigide, contient \(V=2800\ \text{m}^3\) d'air. À la base (altitude 0 m) : \(P_0=101\,325\ \text{Pa}\), \(T_0=288\ \text{K}\). Au sommet (3000 m) : \(P_1=70\,000\ \text{Pa}\), \(T_1=268\ \text{K}\). Données. \(R=8{,}314\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}\), masse molaire de l'air \(M=29\ \text{g/mol}\).
Partie 1 — Masse d'air dans le ballon
  1. Calculer la quantité de matière d'air dans le ballon à la base.
  2. En déduire la masse d'air.

1. \(n=\dfrac{P_0V}{RT_0}=\dfrac{101\,325\times2800}{8{,}314\times288}=\dfrac{283\,710\,000}{2394{,}4}\approx\) 118 500 mol.

2. \(m=nM=118\,500\times0{,}029\approx\) 3440 kg ≈ 3,4 tonnes.

Partie 2 — Transformation en altitude
  1. Le ballon monte : pression et température baissent. L'air s'échappe-t-il du ballon ?
  2. Calculer la quantité de matière d'air restant dans le ballon au sommet.

3. Le ballon est souple : sa pression interne s'équilibre en permanence avec la pression atmosphérique extérieure. Si \(n\) restait constant, l'équation \(P=nRT/V\) donnerait une pression interne inférieure à \(P_1\) à cause de la baisse de T. C'est donc l'air extérieur qui entre dans le ballon pour rééquilibrer les pressions — l'air n'en sort pas.

4. Au sommet, \(P=P_1\), \(V=2800\ \text{m}^3\), \(T=T_1=268\ \text{K}\) : \(n_1=\dfrac{P_1V}{RT_1}=\dfrac{70\,000\times2800}{8{,}314\times268}=\dfrac{196\,000\,000}{2228{,}15}\approx\) 88 000 mol.

📐 Formules à connaître — référentiel indispensable
Équation d'état
\(PV=nRT\)
R=8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹
Pression microscopique
\(P=\frac{1}{3}\rho\langle v^2\rangle\)
chocs moléculaires
Température microscopique
\(\frac{3}{2}k_BT=\frac{1}{2}m_0\langle v^2\rangle\)
énergie cinétique moyenne
Masse volumique
\(\rho=\dfrac{PM}{RT}\)
M : masse molaire
✅ Quiz final — tout le chapitre

1. n=2,0 mol, T=300 K, V=0,05 m³. Que vaut P ?

2. À n et T fixés, si on double le volume V, la pression P :

3. Le modèle du gaz parfait néglige :

4. Un ballon souple monte en altitude ; la pression extérieure baisse. Pour rester en équilibre de pression, le ballon :

5. Dans le simulateur 3D, une température plus élevée se traduit par :

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🧠 Carte mentale du chapitre
Gaz parfait
Équation d'état
  • \(PV=nRT\)
  • R=8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹
  • loi de Mariotte → Clapeyron
Microscopique
  • \(P=\frac{1}{3}\rho\langle v^2\rangle\)
  • \(\frac{3}{2}k_BT=\frac{1}{2}m_0\langle v^2\rangle\)
Validité
  • densité basse
  • haute T, basse P
  • échoue près de liquéfaction
Applications
  • Ballon d'air chaud
  • Pompe à vélo
  • Altitude, pression
🎓 Points à retenir pour le bac
L'essentiel en 5 points
✓\(PV=nRT\) relie pression, volume, quantité de matière et température.
✓Interprétation microscopique : \(P=\frac{1}{3}\rho\langle v^2\rangle\) et \(\frac{3}{2}k_BT=\frac{1}{2}m_0\langle v^2\rangle\).
✓Le modèle suppose molécules ponctuelles et chocs élastiques sans autre interaction.
✓Validité : basses densités, hautes températures — échoue près de la liquéfaction.
✓Pour une paroi souple (ballon), c'est l'équilibre de pression avec l'extérieur qui impose la quantité de matière n, pas l'inverse.
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