Terminale spécialité · Ondes et signaux

Exercices — Niveau sonore

10 exercices à difficulté croissante : décibels, addition de sources, atténuation avec la distance, exposition au bruit.

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Exercice 1 — Calcul direct du niveau sonore★★★★★

Une source sonore a une intensité \(I=1{,}0\times10^{-6}\ \text{W/m}^2\). On donne \(I_0=1{,}0\times10^{-12}\ \text{W/m}^2\) (seuil d'audibilité).

  1. Rappeler la formule donnant le niveau sonore \(L\) en décibels.
  2. Calculer \(L\).

1. \(L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\).

2. \(L = 10\log\left(\dfrac{1{,}0\times10^{-6}}{1{,}0\times10^{-12}}\right) = 10\log(10^6) = 10\times6 = 60\ \text{dB}\).

Exercice 2 — Retrouver l'intensité à partir du niveau sonore★★★★★

Un niveau sonore de \(L=80\ \text{dB}\) est mesuré près d'une machine.

  1. À partir de \(L=10\log(I/I_0)\), établir l'expression de \(I\) en fonction de \(L\) et \(I_0\).
  2. Calculer \(I\), sachant \(I_0=1{,}0\times10^{-12}\ \text{W/m}^2\).

1. \(\dfrac{L}{10}=\log(I/I_0) \Rightarrow I = I_0\times10^{L/10}\).

2. \(I = 1{,}0\times10^{-12}\times10^{80/10} = 1{,}0\times10^{-12}\times10^{8} = 1{,}0\times10^{-4}\ \text{W/m}^2\).

Exercice 3 — Addition de deux sources sonores identiques★★★★★

Une perceuse produit à elle seule un niveau sonore \(L_1=70\ \text{dB}\). Une deuxième perceuse identique se met en marche à côté.

  1. Justifier que ce sont les intensités sonores qui s'additionnent (pas directement les niveaux en dB), et calculer l'intensité \(I_1\) d'une perceuse.
  2. Calculer l'intensité totale \(I_{tot}=2I_1\), puis le niveau sonore total \(L_{tot}\).

1. Le niveau en dB est une échelle logarithmique, non additive terme à terme ; ce sont les intensités physiques (grandeurs énergétiques) qui s'additionnent. \(I_1 = I_0\times10^{L_1/10} = 10^{-12}\times10^{7} = 10^{-5}\ \text{W/m}^2\).

2. \(I_{tot} = 2\times10^{-5}\ \text{W/m}^2\). \(L_{tot} = 10\log\left(\dfrac{2\times10^{-5}}{10^{-12}}\right) = 10\log(2\times10^7) = 10\times(\log2+7) \approx 10\times(0{,}301+7) \approx 73{,}0\ \text{dB}\).

Exercice 4 — Atténuation géométrique avec la distance★★★★★

Une sirène produit un niveau sonore \(L_1=100\ \text{dB}\) à une distance \(r_1=5{,}0\ \text{m}\). L'atténuation géométrique (propagation sphérique) donne \(L_2-L_1=-20\log\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)\).

  1. Calculer le niveau sonore \(L_2\) perçu à \(r_2=50\ \text{m}\) (dix fois plus loin).
  2. Retrouver ce résultat en utilisant la règle : « chaque doublement de distance réduit le niveau de 6 dB » (dix fois la distance ≈ un peu plus de 3 doublements, à affiner par le calcul).

1. \(L_2 = L_1-20\log\left(\dfrac{50}{5{,}0}\right) = 100-20\log(10) = 100-20\times1 = 80\ \text{dB}\).

2. Un facteur 10 en distance correspond à \(\log_2(10)\approx3{,}32\) doublements. \(3{,}32\times6\approx19{,}9\ \text{dB}\), très proche des 20 dB calculés exactement à la question 1 — la règle des « 6 dB par doublement » est bien cohérente avec la formule exacte.

Exercice 4b — Seuils d'audibilité et de douleur★★★★★

Le seuil d'audibilité correspond à \(I_0=1{,}0\times10^{-12}\ \text{W/m}^2\) (soit \(L=0\ \text{dB}\)) et le seuil de douleur à \(I_{douleur}=1{,}0\times10^{1}\ \text{W/m}^2\).

  1. Calculer le niveau sonore \(L_{douleur}\) correspondant au seuil de douleur.
  2. Calculer le rapport \(I_{douleur}/I_0\), et commenter l'immense étendue de l'échelle des intensités que l'oreille humaine peut détecter.

1. \(L_{douleur} = 10\log\left(\dfrac{1{,}0\times10^1}{1{,}0\times10^{-12}}\right) = 10\log(10^{13}) = 130\ \text{dB}\).

2. \(\dfrac{I_{douleur}}{I_0} = 10^{13}\), soit dix mille milliards de fois plus intense : l'oreille humaine détecte des intensités sonores s'étendant sur treize ordres de grandeur, ce qui justifie l'usage d'une échelle logarithmique (le décibel) plutôt qu'une échelle linéaire, bien plus pratique pour représenter une telle gamme.

Exercice 5 — Comparer deux sources à distances différentes★★★★★

Deux machines identiques produisent chacune un niveau sonore \(L_0=90\ \text{dB}\) à \(r_0=1{,}0\ \text{m}\). Un technicien se trouve à \(r_A=4{,}0\ \text{m}\) de la machine A et à \(r_B=10{,}0\ \text{m}\) de la machine B (les deux fonctionnent simultanément).

  1. Calculer le niveau sonore perçu \(L_A\) dû à la seule machine A, et \(L_B\) dû à la seule machine B.
  2. Calculer les intensités \(I_A\) et \(I_B\) correspondantes, puis l'intensité totale perçue \(I_{tot}=I_A+I_B\).
  3. En déduire le niveau sonore total \(L_{tot}\) perçu par le technicien.

1. \(L_A = L_0-20\log(r_A/r_0) = 90-20\log(4{,}0) \approx 90-20\times0{,}602 \approx 90-12{,}0 = 78{,}0\ \text{dB}\).

\(L_B = 90-20\log(10{,}0) = 90-20\times1=70{,}0\ \text{dB}\).

2. \(I_A = 10^{-12}\times10^{78/10} = 10^{-12}\times10^{7{,}8} \approx 6{,}31\times10^{-5}\ \text{W/m}^2\).

\(I_B = 10^{-12}\times10^{7{,}0} = 1{,}00\times10^{-5}\ \text{W/m}^2\).

\(I_{tot} \approx 6{,}31\times10^{-5}+1{,}00\times10^{-5} = 7{,}31\times10^{-5}\ \text{W/m}^2\).

3. \(L_{tot} = 10\log\left(\dfrac{7{,}31\times10^{-5}}{10^{-12}}\right) = 10\log(7{,}31\times10^{7}) \approx 10\times7{,}864 \approx 78{,}6\ \text{dB}\) (proche de \(L_A\), la machine la plus proche dominant largement le niveau perçu).

Exercice 6 — Exposition professionnelle au bruit (type bac)★★★★★

La réglementation impose une exposition sonore maximale de \(85\ \text{dB}\) sur une durée de \(8\ \text{h}\) de travail, avec la règle empirique suivante : chaque augmentation de \(3\ \text{dB}\) du niveau sonore divise par 2 la durée d'exposition maximale admissible.

  1. Un ouvrier est exposé à \(L=91\ \text{dB}\). Calculer l'écart, en dB, par rapport au seuil de référence de 85 dB.
  2. En appliquant la règle empirique, calculer la durée maximale d'exposition admissible à 91 dB.

1. \(\Delta L = 91-85 = 6\ \text{dB}\).

2. \(6\ \text{dB} = 2\times3\ \text{dB}\), donc la durée maximale est divisée par \(2^2=4\) par rapport aux 8h de référence : \(t_{max} = \dfrac{8}{4} = 2{,}0\ \text{h}\).

Exercice 7 — Isolation phonique d'un mur★★★★★

Un mur atténue le niveau sonore qui le traverse de \(A=35\ \text{dB}\) (son indice d'affaiblissement acoustique). D'un côté du mur, le niveau sonore est \(L_1=95\ \text{dB}\) (musique amplifiée).

  1. Calculer le niveau sonore \(L_2\) perçu de l'autre côté du mur.
  2. Calculer les intensités \(I_1\) et \(I_2\) correspondantes, puis le rapport \(I_1/I_2\).
  3. Interpréter ce rapport : quel facteur de réduction de l'intensité sonore une atténuation de 35 dB représente-t-elle concrètement ?

1. \(L_2 = L_1-A = 95-35 = 60\ \text{dB}\).

2. \(I_1 = 10^{-12}\times10^{9{,}5} \approx 3{,}16\times10^{-3}\ \text{W/m}^2\). \(I_2 = 10^{-12}\times10^{6{,}0} = 1{,}0\times10^{-6}\ \text{W/m}^2\).

\(\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{3{,}16\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-6}} = 3160\).

3. Une atténuation de 35 dB correspond exactement à \(10^{35/10}=10^{3{,}5}\approx3162\), cohérent avec le rapport calculé : le mur réduit l'intensité sonore d'un facteur d'environ 3160, soit plus de trois ordres de grandeur — ce qui illustre la puissance de l'échelle logarithmique pour représenter des variations d'intensité aussi extrêmes de façon compacte.

Exercice 8 — Niveau sonore d'un concert à différentes distances (type bac)★★★★★

Lors d'un concert en plein air, le niveau sonore mesuré est \(L_0=110\ \text{dB}\) à \(r_0=10\ \text{m}\) de la scène. Les organisateurs imposent une zone de sécurité où le niveau ne doit pas dépasser \(L_{lim}=85\ \text{dB}\) (seuil réglementaire pour une exposition prolongée sans protection).

  1. Calculer l'écart \(\Delta L = L_0-L_{lim}\).
  2. À partir de la formule \(\Delta L = 20\log(r/r_0)\), établir l'expression de la distance minimale \(r_{min}\) à laquelle le public peut se trouver sans dépasser le seuil.
  3. Calculer numériquement \(r_{min}\).

1. \(\Delta L = 110-85 = 25\ \text{dB}\).

2. \(25 = 20\log(r_{min}/r_0) \Rightarrow \log(r_{min}/r_0) = 1{,}25 \Rightarrow r_{min} = r_0\times10^{1{,}25}\).

3. \(10^{1{,}25} \approx 17{,}8\). \(r_{min} = 10\times17{,}8 \approx 178\ \text{m}\) : le public doit se tenir à au moins environ 178 m de la scène pour respecter le seuil de sécurité.

Exercice 9 — Problème ouvert : dimensionner une protection auditive★★★★★

Un ouvrier travaille dans un atelier où le niveau sonore ambiant est \(L_{atelier}=102\ \text{dB}\). La réglementation impose une exposition maximale de \(85\ \text{dB}\) sur 8h de travail continu. On dispose de bouchons d'oreille caractérisés par leur indice d'affaiblissement \(SNR\) (Single Number Rating), exprimé en dB, tel que le niveau perçu sous protection est \(L_{percu} = L_{atelier}-SNR\).

Le fabricant propose trois modèles : \(SNR_1=12\ \text{dB}\), \(SNR_2=18\ \text{dB}\), \(SNR_3=25\ \text{dB}\). En pratique, l'efficacité réelle sur le terrain n'est souvent que de 50 % de la valeur annoncée par le fabricant (due à un port imparfait), un facteur de sécurité couramment appliqué en médecine du travail.

  1. Pour chacun des trois modèles, calculer l'atténuation réelle attendue en conditions de terrain (50 % du SNR annoncé), puis le niveau sonore perçu \(L_{percu}\) correspondant.
  2. Déterminer, parmi les trois modèles, le(s) protection(s) permettant de respecter effectivement le seuil réglementaire de 85 dB en conditions réelles.
  3. Discuter brièvement pourquoi un modèle affichant un SNR théoriquement suffisant (calcul « sur le papier ») pourrait malgré tout être insuffisant en pratique, et quelle conséquence cela doit avoir sur le choix de l'équipement.

1. Modèle 1 : atténuation réelle \(=12\times0{,}5=6\ \text{dB}\), \(L_{percu}=102-6=96\ \text{dB}\).

Modèle 2 : atténuation réelle \(=18\times0{,}5=9\ \text{dB}\), \(L_{percu}=102-9=93\ \text{dB}\).

Modèle 3 : atténuation réelle \(=25\times0{,}5=12{,}5\ \text{dB}\), \(L_{percu}=102-12{,}5=89{,}5\ \text{dB}\).

2. Même avec le modèle le plus performant (SNR 25 dB), le niveau perçu réel (89,5 dB) reste supérieur au seuil réglementaire de 85 dB : aucun des trois modèles ne suffit en conditions réelles de port.

3. Le calcul « sur le papier » suppose un port parfait du bouchon (ajustement optimal, sans fuite d'air), rarement atteint en pratique par un usage quotidien non contrôlé. Ce facteur de sécurité de 50 % illustre l'écart réaliste entre performance annoncée en laboratoire et performance effective sur le terrain. En conséquence, il faut soit choisir un équipement au SNR nominal nettement supérieur au besoin théorique, soit combiner plusieurs mesures de protection (double protection, réduction du bruit à la source, rotation des postes) plutôt que de se fier uniquement à l'indice affiché.