Exercices — Interférences lumineuses

Exercice 1 — Interfrange — application directe★★★★★

Deux fentes de Young distantes de \(a=0{,}30\ \text{mm}\) sont éclairées par un laser \(\lambda=633\ \text{nm}\). L'écran est placé à \(D=2{,}0\ \text{m}\).

Rappeler la formule donnant l'interfrange \(i\).
Calculer \(i\), en millimètres.

1. \(i = \dfrac{\lambda D}{a}\).

2. \(i = \dfrac{633\times10^{-9}\times2{,}0}{0{,}30\times10^{-3}} \approx 4{,}22\times10^{-3}\ \text{m} \approx 4{,}2\ \text{mm}\).

Exercice 2 — Nombre de franges sur une portion d'écran★★★★★

Sur un écran d'interférences, l'interfrange mesure \(i=1{,}5\ \text{mm}\).

Combien de franges brillantes sont visibles sur une largeur d'écran de \(L=1{,}8\ \text{cm}\) ?
Quelle serait la nouvelle largeur occupée par ces mêmes franges si on utilisait une lumière de longueur d'onde deux fois plus grande (toutes choses égales par ailleurs) ?

1. \(n = \dfrac{L}{i} = \dfrac{18}{1{,}5} = 12\) franges brillantes.

2. \(i\propto\lambda\) : si \(\lambda\) double, \(i\) double aussi, donc la largeur occupée par les 12 mêmes franges serait doublée : \(L'=2\times1{,}8=3{,}6\ \text{cm}\).

Exercice 3 — Détermination de la longueur d'onde (TP, type bac)★★★★★

Dans un TP d'interférences, on mesure sur l'écran (\(D=1{,}5\ \text{m}\)) la distance séparant 10 interfranges consécutives : \(\Delta x=32\ \text{mm}\). Les fentes sont espacées de \(a=0{,}25\ \text{mm}\).

Calculer l'interfrange \(i\) à partir de la mesure de 10 interfranges.
En déduire la longueur d'onde \(\lambda\) du laser utilisé.

1. \(i = \dfrac{\Delta x}{10} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2\ \text{mm}\).

2. \(i=\dfrac{\lambda D}{a} \Rightarrow \lambda = \dfrac{ia}{D} \approx 5{,}33\times10^{-7}\ \text{m} = 533\ \text{nm}\) (vert).

Exercice 4 — Effet de l'écartement des fentes★★★★★

On réalise deux expériences d'interférences avec le même laser et le même écran, mais avec des fentes différentes : \(a_1=0{,}20\ \text{mm}\) puis \(a_2=0{,}40\ \text{mm}\) (deux fois plus espacées).

Sans calcul, prévoir qualitativement comment évolue l'interfrange lorsqu'on augmente l'écartement \(a\) des fentes.
Calculer le rapport \(i_2/i_1\), et vérifier votre prévision.

1. \(i=\lambda D/a\) : \(i\) est inversement proportionnel à \(a\). Augmenter l'écartement des fentes doit donc resserrer les franges.

2. \(\dfrac{i_2}{i_1} = \dfrac{a_1}{a_2} = 0{,}5\) : l'interfrange est bien divisé par 2, conformément à la prévision.

Exercice 5 — Effet de la distance à l'écran★★★★★

Un dispositif de fentes de Young (\(a=0{,}20\ \text{mm}\), \(\lambda=633\ \text{nm}\)) donne un interfrange \(i_1=3{,}17\ \text{mm}\) sur un écran situé à \(D_1=1{,}0\ \text{m}\).

Sans nouveau calcul de \(i\), prévoir qualitativement l'effet d'un éloignement de l'écran sur l'interfrange.
Calculer l'interfrange \(i_2\) si l'on recule l'écran à \(D_2=2{,}5\ \text{m}\).

1. \(i=\lambda D/a\) : \(i\) est proportionnel à \(D\). Éloigner l'écran doit donc élargir les franges (interfrange plus grand).

2. \(i_2 = i_1\times\dfrac{D_2}{D_1} = 3{,}17\times\dfrac{2{,}5}{1{,}0} \approx 7{,}93\ \text{mm}\).

Exercice 6 — Interférences en lumière blanche★★★★★

On remplace le laser par une source de lumière blanche dans un dispositif de fentes de Young (\(a=0{,}30\ \text{mm}\), \(D=1{,}0\ \text{m}\)). La lumière blanche contient toutes les longueurs d'onde visibles, de \(\lambda_{violet}=400\ \text{nm}\) à \(\lambda_{rouge}=750\ \text{nm}\).

Calculer l'interfrange \(i_{violet}\) et \(i_{rouge}\) pour les deux longueurs d'onde extrêmes.
Expliquer pourquoi la frange centrale reste blanche, alors que les franges latérales présentent des irisations colorées.

1. \(i_{violet} \approx 1{,}33\ \text{mm}\). \(i_{rouge} = 2{,}5\ \text{mm}\).

2. Au centre (différence de marche nulle), toutes les longueurs d'onde ont simultanément une frange brillante superposée : la reconstitution de toutes les couleurs donne du blanc. Ailleurs, chaque couleur ayant un interfrange différent, les franges brillantes se décalent progressivement, produisant des irisations colorées.

Exercice 7 — Différence de marche et condition d'interférence constructive★★★★★

En un point M de l'écran, la différence de marche vaut \(\delta = \dfrac{ax}{D}\), où \(x\) est la position de M par rapport au centre de la figure.

Rappeler la condition sur \(\delta\) pour observer une frange brillante, en fonction de \(\lambda\) et d'un entier \(k\).
Pour \(a=0{,}25\ \text{mm}\), \(D=2{,}0\ \text{m}\), \(\lambda=550\ \text{nm}\), calculer la position \(x_3\) de la frange brillante d'ordre \(k=3\).

1. Frange brillante si \(\delta = k\lambda\), avec \(k\in\mathbb{Z}\).

2. \(x_k = \dfrac{k\lambda D}{a}\). Pour \(k=3\) : \(x_3 \approx 1{,}32\times10^{-2}\ \text{m} = 13{,}2\ \text{mm}\).

Exercice 8 — Interféromètre de Michelson simplifié★★★★★

Dans un dispositif interférométrique, on déplace un miroir d'une distance \(e\), ce qui modifie la différence de marche de \(\Delta\delta = 2e\). On utilise un laser \(\lambda=633\ \text{nm}\), et on compte \(N=1000\) franges qui défilent lors du déplacement du miroir.

Rappeler la condition pour qu'une frange supplémentaire défile lorsque \(\delta\) augmente de \(\lambda\).
Établir la relation entre le déplacement total \(e\) du miroir et le nombre de franges \(N\) comptées.
Calculer numériquement \(e\), en micromètres.

1. Une frange défile chaque fois que \(\delta\) varie exactement de \(\lambda\).

2. \(N\) franges correspondent à \(\Delta\delta = N\lambda = 2e \Rightarrow e = \dfrac{N\lambda}{2}\).

3. \(e = \dfrac{1000\times633\times10^{-9}}{2} \approx 316{,}5\ \mu\text{m}\) — ce principe permet de mesurer des déplacements extrêmement faibles avec une très grande précision.

Exercice 9 — Superposition de deux interférences colorées★★★★★

On éclaire simultanément un dispositif de fentes de Young (\(a=0{,}25\ \text{mm}\), \(D=1{,}8\ \text{m}\)) avec deux lasers de longueurs d'onde \(\lambda_1=633\ \text{nm}\) (rouge) et \(\lambda_2=532\ \text{nm}\) (vert).

Calculer les interfranges \(i_1\) et \(i_2\) associées à chaque laser.
On cherche une position \(x\) où une frange brillante rouge d'ordre \(k_1\) coïncide avec une frange brillante verte d'ordre \(k_2\). Établir la condition \(k_1i_1=k_2i_2\), puis le rapport \(k_1/k_2\).
En déduire les plus petits entiers \(k_1,k_2\) non nuls vérifiant cette coïncidence, et la position \(x\) correspondante. Commenter la faisabilité expérimentale.

1. \(i_1 \approx 4{,}56\ \text{mm}\). \(i_2 \approx 3{,}83\ \text{mm}\).

2. \(\dfrac{k_1}{k_2}=\dfrac{i_2}{i_1}=\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}=\dfrac{532}{633}\) (fraction irréductible).

3. \(k_1=532\), \(k_2=633\). Position : \(x = 532\times4{,}56\times10^{-3} \approx 2{,}43\ \text{m}\) — bien au-delà de la taille d'un écran usuel : une coïncidence exacte n'est en pratique jamais observée sur un dispositif de TP classique.

Exercice 10 — Détermination de l'épaisseur d'un cheveu par interférences (type bac)★★★★★

On souhaite mesurer le diamètre d'un cheveu humain en l'éclairant avec un laser \(\lambda=650\ \text{nm}\) (le cheveu joue le rôle d'un obstacle fin, analogue à une fente de Young). Sur un écran à \(D=3{,}0\ \text{m}\), on observe une figure de franges d'interfrange \(i=4{,}5\ \text{cm}\).

En assimilant le phénomène à des interférences avec un écartement effectif \(a\) égal au diamètre du cheveu, calculer \(a\) à partir de \(i=\lambda D/a\).
Ce résultat est-il cohérent avec un diamètre de cheveu typique (généralement 50 à 100 μm) ? Commenter.

1. \(a = \dfrac{\lambda D}{i} \approx 4{,}33\times10^{-5}\ \text{m} = 43{,}3\ \mu\text{m}\).

2. Cette valeur est cohérente, quoique légèrement inférieure à la plage typique (50-100 μm) — elle pourrait correspondre à un cheveu fin ou à une petite incertitude expérimentale. L'ordre de grandeur est en tout cas parfaitement validé par cette méthode optique.