Terminale spécialité · Ondes et signaux

Exercices — Effet photoélectrique

10 exercices à difficulté croissante : énergie d'un photon, seuil photoélectrique, relation d'Einstein, dualité onde-particule.

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Exercice 1 — Énergie d'un photon★★★★★

Un photon de lumière visible a une fréquence \(\nu=5{,}0\times10^{14}\ \text{Hz}\). On donne \(h=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\).

  1. Rappeler la relation de Planck-Einstein donnant l'énergie d'un photon.
  2. Calculer cette énergie \(E\), en Joules.

1. \(E = h\nu\).

2. \(E = 6{,}63\times10^{-34}\times5{,}0\times10^{14} = 3{,}32\times10^{-19}\ \text{J}\).

Exercice 2 — Conversion en électron-volts★★★★★

Un photon a une énergie \(E=4{,}42\times10^{-19}\ \text{J}\). On donne \(1\ \text{eV} = 1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}\).

  1. Convertir cette énergie en électron-volts (eV).
  2. Sachant que le seuil photoélectrique du sodium est \(W_0=2{,}3\ \text{eV}\), ce photon peut-il arracher un électron au sodium ?

1. \(E = \dfrac{4{,}42\times10^{-19}}{1{,}60\times10^{-19}} \approx 2{,}76\ \text{eV}\).

2. \(E=2{,}76\ \text{eV} > W_0=2{,}3\ \text{eV}\) : oui, ce photon peut provoquer l'effet photoélectrique sur le sodium.

Exercice 3 — Longueur d'onde seuil★★★★★

Le travail d'extraction (seuil photoélectrique en énergie) du zinc est \(W_0=4{,}3\ \text{eV}\). On donne \(h=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\), \(c=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}\), \(1\ \text{eV}=1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}\).

  1. Convertir \(W_0\) en Joules.
  2. À partir de \(E=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}\), établir l'expression de la longueur d'onde seuil \(\lambda_0\), puis la calculer.

1. \(W_0 = 4{,}3\times1{,}60\times10^{-19} = 6{,}88\times10^{-19}\ \text{J}\).

2. \(\lambda_0 = \dfrac{hc}{W_0} = \dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}00\times10^8}{6{,}88\times10^{-19}} \approx 2{,}89\times10^{-7}\ \text{m} = 289\ \text{nm}\) (rayonnement ultraviolet).

Exercice 4 — Condition d'existence de l'effet photoélectrique★★★★★

Le seuil photoélectrique du potassium correspond à une longueur d'onde \(\lambda_0=550\ \text{nm}\). On éclaire ce métal successivement avec une lumière rouge (\(\lambda_1=650\ \text{nm}\)) puis une lumière bleue (\(\lambda_2=450\ \text{nm}\)).

  1. Rappeler la condition sur \(\lambda\) (par rapport à \(\lambda_0\)) pour que l'effet photoélectrique ait lieu.
  2. Pour chacune des deux lumières, préciser si l'effet photoélectrique a lieu ou non, en justifiant.

1. L'effet photoélectrique a lieu si et seulement si \(\lambda \leq \lambda_0\).

2. Rouge : \(\lambda_1=650\ \text{nm} > \lambda_0=550\ \text{nm}\) : pas d'effet photoélectrique.

Bleu : \(\lambda_2=450\ \text{nm} < \lambda_0=550\ \text{nm}\) : l'effet photoélectrique a lieu.

Exercice 5 — Identifier un métal à partir de son seuil★★★★★

On mesure le seuil photoélectrique d'un métal inconnu : \(\lambda_0 = 262\ \text{nm}\). On dispose d'une table de référence :

Argent : \(W_0=4{,}7\ \text{eV}\)    Zinc : \(W_0=4{,}3\ \text{eV}\)    Cuivre : \(W_0=4{,}7\ \text{eV}\)    Césium : \(W_0=2{,}1\ \text{eV}\)
  1. Calculer le travail d'extraction \(W_0\) du métal inconnu, en eV.
  2. Identifier, parmi la table fournie, de quel métal il pourrait s'agir.

1. \(W_0 = \dfrac{hc}{\lambda_0} = \dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}00\times10^8}{262\times10^{-9}} \approx 7{,}59\times10^{-19}\ \text{J} \approx \dfrac{7{,}59\times10^{-19}}{1{,}60\times10^{-19}} \approx 4{,}74\ \text{eV}\).

2. Cette valeur est très proche de celle de l'argent et du cuivre (4,7 eV) : il pourrait s'agir de l'un de ces deux métaux (une mesure complémentaire serait nécessaire pour trancher entre les deux).

Exercice 6 — Énergie cinétique des électrons extraits★★★★★

Une plaque de césium (\(W_0=2{,}1\ \text{eV}\)) est éclairée par une lumière de longueur d'onde \(\lambda=400\ \text{nm}\). On donne \(h=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\), \(c=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}\), \(1\ \text{eV}=1{,}60\times10^{-19}\ \text{J}\).

  1. Calculer l'énergie \(E\) d'un photon incident, en Joules puis en eV.
  2. En utilisant la relation d'Einstein \(E_{c,max}=E-W_0\), calculer l'énergie cinétique maximale des électrons extraits, en eV.

1. \(E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}00\times10^8}{400\times10^{-9}} \approx 4{,}97\times10^{-19}\ \text{J} \approx 3{,}11\ \text{eV}\).

2. \(E_{c,max} = E-W_0 = 3{,}11-2{,}1 = 1{,}01\ \text{eV}\).

Exercice 7 — Détermination du travail d'extraction par la méthode graphique★★★★★

La relation d'Einstein \(E_{c,max}=h\nu-W_0\) peut se tracer sous forme d'une droite. Un relevé expérimental donne, pour deux fréquences : à \(\nu_1=7{,}5\times10^{14}\ \text{Hz}\), \(E_{c,max,1}=0{,}90\ \text{eV}\) ; à \(\nu_2=9{,}5\times10^{14}\ \text{Hz}\), \(E_{c,max,2}=1{,}72\ \text{eV}\).

  1. Justifier que la pente de la droite \(E_{c,max}(\nu)\) doit théoriquement être égale à la constante de Planck \(h\).
  2. Calculer la pente à partir des deux points donnés (convertir d'abord en Joules), et comparer à \(h=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\).
  3. En déduire le travail d'extraction \(W_0\) du métal étudié, en eV.

1. \(E_{c,max}=h\nu-W_0\) est de la forme \(y=ax+b\), pente \(a=h\).

2. En Joules : \(E_{c,max,1}=1{,}44\times10^{-19}\ \text{J}\), \(E_{c,max,2}=2{,}752\times10^{-19}\ \text{J}\).

Pente : \(h_{exp} = \dfrac{2{,}752\times10^{-19}-1{,}44\times10^{-19}}{9{,}5\times10^{14}-7{,}5\times10^{14}} \approx 6{,}56\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\), proche de la valeur théorique.

3. \(W_0 = h_{exp}\nu_1-E_{c,max,1} \approx 4{,}92\times10^{-19}-1{,}44\times10^{-19} = 3{,}48\times10^{-19}\ \text{J} \approx 2{,}18\ \text{eV}\).

Exercice 8 — Intensité du courant photoélectrique★★★★★

Une cellule photoélectrique reçoit une lumière de longueur d'onde \(\lambda=350\ \text{nm}\) et de puissance \(P=5{,}0\ \text{mW}\). On suppose que chaque photon absorbé libère exactement un électron.

  1. Calculer l'énergie d'un photon incident.
  2. Calculer le nombre de photons \(N\) reçus par seconde.
  3. En déduire l'intensité du courant photoélectrique \(I=Ne\) (avec \(e=1{,}60\times10^{-19}\ \text{C}\)), en microampères.

1. \(E = \dfrac{hc}{\lambda} \approx 5{,}68\times10^{-19}\ \text{J}\).

2. \(N = \dfrac{P}{E} = \dfrac{5{,}0\times10^{-3}}{5{,}68\times10^{-19}} \approx 8{,}80\times10^{15}\ \text{photons/s}\).

3. \(I = Ne \approx 8{,}80\times10^{15}\times1{,}60\times10^{-19} \approx 1{,}41\times10^{-3}\ \text{A} = 1{,}41\ \text{mA}\).

Exercice 9 — Dualité onde-particule : comparer deux couleurs (type bac)★★★★★

Une cellule photoélectrique au sélénium (\(W_0=2{,}1\times10^{-19}\ \text{J}\)) est éclairée successivement par une lumière violette \(\lambda_1=400\ \text{nm}\) et une lumière rouge \(\lambda_2=700\ \text{nm}\), de même puissance incidente \(P=2{,}0\ \text{mW}\).

  1. Calculer l'énergie d'un photon pour chacune des deux couleurs, et déterminer pour laquelle (ou lesquelles) l'effet photoélectrique se produit.
  2. Calculer le nombre de photons reçus par seconde pour chaque couleur, à partir de \(N=P/E_{photon}\).
  3. Expliquer pourquoi, même à puissance lumineuse identique, seule une des deux couleurs peut arracher des électrons — quel aspect fondamental de la lumière ce résultat illustre-t-il ?

1. \(E_1 = \dfrac{hc}{\lambda_1} \approx 4{,}97\times10^{-19}\ \text{J} > W_0=2{,}1\times10^{-19}\ \text{J}\) : effet photoélectrique en violet.

\(E_2 = \dfrac{hc}{\lambda_2} \approx 2{,}84\times10^{-19}\ \text{J} > W_0\) également : effet aussi présent en rouge ici (seuil plus bas que dans l'exercice précédent).

2. \(N_1 = \dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{4{,}97\times10^{-19}} \approx 4{,}02\times10^{15}\ \text{photons/s}\). \(N_2 = \dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{2{,}84\times10^{-19}} \approx 7{,}04\times10^{15}\ \text{photons/s}\).

3. Ce résultat illustre l'aspect corpusculaire (quantifié) de la lumière : c'est l'énergie individuelle de chaque photon (donc sa fréquence) qui détermine si l'effet a lieu, pas la puissance totale ni le nombre de photons.

Exercice 10 — Problème ouvert : dimensionner un capteur solaire à effet photoélectrique★★★★★

On envisage un capteur basé sur l'effet photoélectrique pour détecter la lumière du jour, utilisant un métal de travail d'extraction \(W_0=1{,}8\ \text{eV}\). Le spectre solaire visible s'étend approximativement de \(\lambda=400\ \text{nm}\) (violet) à \(\lambda=750\ \text{nm}\) (rouge).

  1. Calculer la longueur d'onde seuil \(\lambda_0\) associée à ce métal.
  2. Le capteur répond-il à l'ensemble du spectre visible, à une partie seulement, ou à aucune partie ? Justifier précisément en comparant \(\lambda_0\) aux bornes du spectre visible.
  3. Si l'on souhaite un capteur sensible à tout le spectre visible (jusqu'à 750 nm inclus), quelle condition doit vérifier le travail d'extraction \(W_0'\) du nouveau métal ? Calculer la valeur maximale de \(W_0'\), en eV.

1. \(W_0 = 1{,}8\times1{,}60\times10^{-19}=2{,}88\times10^{-19}\ \text{J}\). \(\lambda_0 = \dfrac{hc}{W_0} \approx 6{,}91\times10^{-7}\ \text{m} = 691\ \text{nm}\).

2. Le capteur répond pour \(\lambda\leq691\ \text{nm}\), donc du violet (400 nm) jusqu'à environ 691 nm — mais pas entre 691 nm et 750 nm (rouge profond, \(\lambda>\lambda_0\)). Il répond donc à une partie seulement du spectre visible.

3. Il faut \(\lambda_0' \geq 750\ \text{nm}\), soit \(W_0' \leq \dfrac{hc}{750\times10^{-9}} \approx 2{,}65\times10^{-19}\ \text{J} \approx 1{,}66\ \text{eV}\) : il faut choisir un métal de travail d'extraction inférieur ou égal à 1,66 eV.