Terminale spécialité · Ondes et signaux

Exercices — Effet Doppler

10 exercices à difficulté croissante : décalage de fréquence, source en mouvement, radar, redshift, échographie Doppler.

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Exercice 1 — Décalage de fréquence — approche qualitative★★★★★

Une ambulance approche d'un observateur immobile, sirène allumée.

  1. Le son perçu par l'observateur a-t-il une fréquence plus élevée, plus basse, ou identique à la fréquence réellement émise par la sirène ?
  2. Que se passe-t-il, à l'inverse, une fois que l'ambulance s'est éloignée de l'observateur ?

1. Lorsque la source se rapproche, l'observateur perçoit une fréquence plus élevée que la fréquence émise (le son paraît plus aigu) : c'est l'effet Doppler.

2. Une fois la source éloignée, l'observateur perçoit une fréquence plus basse que la fréquence émise (le son paraît plus grave).

Exercice 2 — Application numérique simple — source qui s'approche★★★★★

Une source sonore émet à la fréquence \(f=1000\ \text{Hz}\) et se rapproche d'un observateur fixe à la vitesse \(v=20\ \text{m/s}\). La célérité du son dans l'air est \(c=340\ \text{m/s}\). On utilise la formule approchée \(f' = f\left(1+\dfrac{v}{c}\right)\) pour une source qui s'approche.

  1. Calculer le rapport \(v/c\).
  2. Calculer la fréquence perçue \(f'\) par l'observateur.

1. \(v/c = 20/340 \approx 0{,}0588\).

2. \(f' = 1000\times(1+0{,}0588) \approx 1000\times1{,}0588 \approx 1059\ \text{Hz}\).

Exercice 3 — Source qui s'éloigne★★★★★

Une moto klaxonne à \(f=450\ \text{Hz}\) en s'éloignant d'un piéton à \(v=15\ \text{m/s}\), avec \(c=340\ \text{m/s}\). Pour une source qui s'éloigne, on utilise \(f'=f\left(1-\dfrac{v}{c}\right)\).

  1. Calculer la fréquence \(f'\) perçue par le piéton.
  2. Calculer le décalage \(\Delta f = f-f'\), et vérifier qu'il correspond bien à une baisse de fréquence perçue.

1. \(f' = 450\times\left(1-\dfrac{15}{340}\right) = 450\times(1-0{,}0441) \approx 450\times0{,}9559 \approx 430{,}2\ \text{Hz}\).

2. \(\Delta f = 450-430{,}2 = 19{,}8\ \text{Hz}\) : c'est bien positif, la fréquence perçue est inférieure à la fréquence émise (son plus grave), cohérent avec un éloignement.

Exercice 4 — Comparer approche et éloignement pour une même vitesse★★★★★

Un scooter émet un son à \(f=600\ \text{Hz}\) et roule à \(v=12\ \text{m/s}\), \(c=340\ \text{m/s}\).

  1. Calculer la fréquence perçue \(f_1\) lorsqu'il s'approche d'un piéton.
  2. Calculer la fréquence perçue \(f_2\) lorsqu'il s'éloigne du même piéton, à la même vitesse.
  3. Les écarts \(f_1-f\) et \(f-f_2\) sont-ils rigoureusement égaux ? Commenter à partir des formules utilisées.

1. \(f_1 = 600\times\left(1+\dfrac{12}{340}\right) \approx 600\times1{,}0353 \approx 621{,}2\ \text{Hz}\).

2. \(f_2 = 600\times\left(1-\dfrac{12}{340}\right) \approx 600\times0{,}9647 \approx 578{,}8\ \text{Hz}\).

3. \(f_1-f=21{,}2\ \text{Hz}\) et \(f-f_2=21{,}2\ \text{Hz}\) : ici les deux écarts sont égaux car les formules \(f(1\pm v/c)\) sont symétriques par construction (linéaires en \(v/c\)) — ce ne serait plus rigoureusement le cas avec la formule exacte relativiste, mais dans l'approximation classique utilisée en Terminale, la symétrie est exacte.

Exercice 5 — Détermination de la vitesse d'une source à partir du décalage★★★★★

Un train émet un signal sonore à \(f=800\ \text{Hz}\). Un observateur au bord des voies perçoit, alors que le train s'approche, une fréquence \(f'=850\ \text{Hz}\). On prend \(c=340\ \text{m/s}\).

  1. À partir de \(f'=f(1+v/c)\), établir l'expression de \(v\) en fonction de \(f\), \(f'\) et \(c\).
  2. Calculer numériquement la vitesse \(v\) du train.

1. \(\dfrac{f'}{f} = 1+\dfrac{v}{c} \Rightarrow v = c\left(\dfrac{f'}{f}-1\right)\).

2. \(v = 340\times\left(\dfrac{850}{800}-1\right) = 340\times(1{,}0625-1) = 340\times0{,}0625 \approx 21{,}3\ \text{m/s}\) (soit environ 76,5 km/h).

Exercice 6 — Décalage Doppler en électromagnétisme (radar routier)★★★★★

Un radar routier utilise l'effet Doppler pour mesurer la vitesse des véhicules, avec des ondes électromagnétiques de célérité \(c=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}\) (\(v\ll c\)). Pour une onde émise à \(f=24{,}125\ \text{GHz}\) réfléchie par un véhicule s'approchant à \(v=25\ \text{m/s}\), le décalage en fréquence observé (aller-retour) est approximativement \(\Delta f \approx \dfrac{2vf}{c}\).

  1. Calculer le décalage \(\Delta f\) pour ce véhicule.
  2. Convertir la vitesse du véhicule en km/h.

1. \(\Delta f = \dfrac{2\times25\times24{,}125\times10^9}{3{,}00\times10^8} = \dfrac{1{,}206\times10^{12}}{3{,}00\times10^8} \approx 4021\ \text{Hz} \approx 4{,}02\ \text{kHz}\).

2. \(v = 25\times3{,}6 = 90\ \text{km/h}\).

Exercice 7 — Décalage spectral d'une galaxie (redshift)★★★★★

La raie spectrale de l'hydrogène, émise à \(\lambda_0=656{,}3\ \text{nm}\) au repos, est observée à \(\lambda=660{,}1\ \text{nm}\) dans le spectre d'une galaxie lointaine. On utilise la relation non-relativiste \(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v}{c}\), avec \(c=3{,}00\times10^5\ \text{km/s}\).

  1. Calculer le décalage \(\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0\).
  2. En déduire la vitesse \(v\) d'éloignement de la galaxie par rapport à la Terre.
  3. Ce décalage correspond-il à un rapprochement ou un éloignement ? Justifier à partir du signe de \(\Delta\lambda\).

1. \(\Delta\lambda = 660{,}1-656{,}3 = 3{,}8\ \text{nm}\).

2. \(v = c\times\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = 3{,}00\times10^5\times\dfrac{3{,}8}{656{,}3} \approx 3{,}00\times10^5\times5{,}79\times10^{-3} \approx 1737\ \text{km/s}\).

3. \(\Delta\lambda>0\) : la longueur d'onde observée est plus grande que celle émise (décalage vers le rouge, « redshift »), ce qui correspond à un éloignement de la galaxie — c'est l'un des arguments observationnels de l'expansion de l'Univers.

Exercice 8 — Doppler et échographie (mesure du flux sanguin, type bac)★★★★★

Une sonde échographique Doppler émet des ultrasons à \(f=5{,}0\ \text{MHz}\) dans le sang (célérité des ultrasons dans les tissus mous \(c\approx1540\ \text{m/s}\)). Les globules rouges, en mouvement à la vitesse \(v\), réfléchissent l'onde vers la sonde avec un décalage (aller-retour) \(\Delta f = \dfrac{2vf\cos\alpha}{c}\), où \(\alpha\) est l'angle entre le faisceau et l'écoulement sanguin.

On mesure \(\Delta f=1{,}56\ \text{kHz}\), avec \(\alpha=45°\) (\(\cos45°\approx0{,}707\)).

  1. Isoler \(v\) dans l'expression de \(\Delta f\).
  2. Calculer numériquement la vitesse \(v\) du sang, en m/s puis en cm/s.
  3. Si l'angle \(\alpha\) était mal évalué (pris à 0° au lieu de 45° par erreur), la vitesse calculée serait-elle surestimée ou sous-estimée ? Justifier.

1. \(v = \dfrac{\Delta f\,c}{2f\cos\alpha}\).

2. \(v = \dfrac{1560\times1540}{2\times5{,}0\times10^6\times0{,}707} = \dfrac{2{,}402\times10^6}{7{,}07\times10^6} \approx 0{,}340\ \text{m/s} = 34{,}0\ \text{cm/s}\).

3. \(v\propto\dfrac{1}{\cos\alpha}\). Comme \(\cos(0°)=1>\cos(45°)\approx0{,}707\), utiliser \(\alpha=0°\) sous-estimerait la vitesse réelle — on trouverait \(v\approx0{,}707\times34{,}0\approx24{,}0\ \text{cm/s}\), trop faible.

Exercice 9 — Battements et effet Doppler combinés★★★★★

Deux sources sonores identiques émettent à la même fréquence \(f_0=1000\ \text{Hz}\) au repos. L'une est fixe, l'autre se déplace vers l'observateur à \(v=8{,}0\ \text{m/s}\) (\(c=340\ \text{m/s}\)). L'observateur entend un battement, dont la fréquence est \(f_{batt}=|f'-f_0|\), où \(f'\) est la fréquence perçue de la source mobile.

  1. Calculer la fréquence \(f'\) perçue de la source en mouvement.
  2. Calculer la fréquence de battement \(f_{batt}\) perçue par l'observateur.

1. \(f' = f_0\left(1+\dfrac{v}{c}\right) = 1000\times\left(1+\dfrac{8{,}0}{340}\right) = 1000\times1{,}0235 \approx 1023{,}5\ \text{Hz}\).

2. \(f_{batt} = |1023{,}5-1000| = 23{,}5\ \text{Hz}\) : l'observateur perçoit un battement audible d'environ 23,5 Hz.

Exercice 10 — Problème ouvert : train et effet Doppler double (type bac)★★★★★

Un observateur situé sur un quai entend le sifflet d'un train (fréquence émise \(f_0=440\ \text{Hz}\)) alors que celui-ci traverse la gare sans s'arrêter, à vitesse constante \(v=30\ \text{m/s}\). On prend \(c=340\ \text{m/s}\).

  1. Calculer la fréquence \(f_{app}\) perçue lorsque le train s'approche de l'observateur.
  2. Calculer la fréquence \(f_{elo}\) perçue lorsque le train s'éloigne de l'observateur, après être passé devant lui.
  3. Calculer l'écart total \(\Delta f_{total}=f_{app}-f_{elo}\) que l'observateur perçoit au moment précis où le train le croise.
  4. Sachant que l'oreille humaine perçoit distinctement un changement de hauteur à partir d'un écart relatif \(\Delta f/f_0\) d'environ 0,3 %, ce saut de fréquence sera-t-il perceptible par l'observateur ? Justifier par le calcul.

1. \(f_{app} = f_0\left(1+\dfrac{v}{c}\right) = 440\times\left(1+\dfrac{30}{340}\right) = 440\times1{,}0882 \approx 478{,}8\ \text{Hz}\).

2. \(f_{elo} = f_0\left(1-\dfrac{v}{c}\right) = 440\times\left(1-\dfrac{30}{340}\right) = 440\times0{,}9118 \approx 401{,}2\ \text{Hz}\).

3. \(\Delta f_{total} = 478{,}8-401{,}2 = 77{,}6\ \text{Hz}\).

4. \(\dfrac{\Delta f_{total}}{f_0} = \dfrac{77{,}6}{440} \approx 17{,}6\%\), très largement supérieur au seuil de 0,3 % : ce saut de fréquence est très nettement perceptible — c'est le phénomène caractéristique du passage d'un train, avec la baisse audible et brutale de hauteur du son au croisement.