Terminale spécialité · Ondes et signaux

Exercices — Diffraction

10 exercices à difficulté croissante : angle de diffraction, mesure de longueur d'onde, résolution d'un instrument.

← Retour au cours
Exercice 1 — Condition d'observation de la diffraction★★★★★

Un laser de longueur d'onde \(\lambda=633\ \text{nm}\) traverse une fente de largeur \(a=0{,}20\ \text{mm}\).

  1. Rappeler la formule donnant le demi-angle de diffraction \(\theta\) (en radians, pour de petits angles).
  2. Calculer \(\theta\) en radians, puis en degrés.

1. \(\theta \approx \dfrac{\lambda}{a}\) (en radians, valable pour \(a\gg\lambda\)).

2. \(\theta = \dfrac{633\times10^{-9}}{0{,}20\times10^{-3}} = 3{,}165\times10^{-3}\ \text{rad}\).

En degrés : \(\theta \approx 3{,}165\times10^{-3}\times\dfrac{180}{\pi} \approx 0{,}181°\).

Exercice 2 — Largeur de la tache centrale de diffraction★★★★★

Une fente de largeur \(a=0{,}10\ \text{mm}\) est éclairée par un laser \(\lambda=532\ \text{nm}\). On observe la figure de diffraction sur un écran situé à \(D=2{,}0\ \text{m}\).

  1. Calculer le demi-angle de diffraction \(\theta\).
  2. En admettant que la demi-largeur de la tache centrale sur l'écran vaut \(L/2 \approx \theta\times D\), calculer la largeur totale \(L\) de la tache centrale.

1. \(\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{532\times10^{-9}}{0{,}10\times10^{-3}} = 5{,}32\times10^{-3}\ \text{rad}\).

2. \(L/2 = \theta\times D = 5{,}32\times10^{-3}\times2{,}0 \approx 1{,}064\times10^{-2}\ \text{m}\). Donc \(L \approx 2{,}13\times10^{-2}\ \text{m} \approx 2{,}1\ \text{cm}\).

Exercice 3 — Diffraction et taille d'un obstacle★★★★★

Un fil fin de diamètre \(a\) diffracte un faisceau laser \(\lambda=650\ \text{nm}\). On mesure sur un écran à \(D=3{,}0\ \text{m}\) une tache centrale de largeur totale \(L=7{,}8\ \text{cm}\).

  1. En utilisant \(L/2=\theta D\) et \(\theta=\lambda/a\), établir l'expression de \(a\) en fonction de \(\lambda\), \(D\) et \(L\).
  2. Calculer numériquement le diamètre \(a\) du fil.

1. \(\dfrac{L}{2} = \theta D = \dfrac{\lambda}{a}D \Rightarrow a = \dfrac{2\lambda D}{L}\).

2. \(a = \dfrac{2\times650\times10^{-9}\times3{,}0}{7{,}8\times10^{-2}} = \dfrac{3{,}9\times10^{-6}}{7{,}8\times10^{-2}} = 5{,}0\times10^{-5}\ \text{m} = 50\ \mu\text{m}\).

Exercice 4 — Comparaison de deux longueurs d'onde★★★★★

On diffracte successivement deux lasers, rouge (\(\lambda_R=633\ \text{nm}\)) et vert (\(\lambda_V=532\ \text{nm}\)), à travers la même fente de largeur \(a\).

  1. Sans calculer les angles séparément, exprimer le rapport \(\dfrac{\theta_R}{\theta_V}\) en fonction de \(\lambda_R\) et \(\lambda_V\).
  2. Calculer ce rapport, et en déduire lequel des deux lasers diffracte le plus (tache la plus large).

1. \(\theta=\lambda/a\) avec \(a\) identique pour les deux, donc \(\dfrac{\theta_R}{\theta_V} = \dfrac{\lambda_R}{\lambda_V}\).

2. \(\dfrac{\theta_R}{\theta_V} = \dfrac{633}{532} \approx 1{,}19\). Le laser rouge, de plus grande longueur d'onde, diffracte davantage (tache environ 19 % plus large) que le laser vert.

Exercice 5 — Effet de la largeur de fente sur la diffraction★★★★★

On diffracte le même laser \(\lambda=650\ \text{nm}\) à travers deux fentes différentes : \(a_1=0{,}30\ \text{mm}\) puis \(a_2=0{,}15\ \text{mm}\) (deux fois plus étroite).

  1. Sans calculer \(\theta_1\) et \(\theta_2\) séparément, prévoir qualitativement si la tache de diffraction s'élargit ou se rétrécit lorsqu'on réduit la largeur de la fente.
  2. Calculer le rapport \(\theta_2/\theta_1\), et vérifier votre prévision.

1. \(\theta=\lambda/a\) : plus la fente \(a\) est étroite, plus \(\theta\) est grand, donc plus la tache de diffraction est large. Réduire la largeur de la fente élargit la figure de diffraction.

2. \(\dfrac{\theta_2}{\theta_1} = \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{0{,}30}{0{,}15} = 2{,}0\) : la tache est bien deux fois plus large avec la fente deux fois plus étroite, conformément à la prévision.

Exercice 6 — Détermination de la longueur d'onde par diffraction (TP, type bac)★★★★★

Lors d'un TP, on diffracte un faisceau laser inconnu à travers une fente de largeur \(a=80\ \mu\text{m}\). Sur un écran situé à \(D=1{,}5\ \text{m}\), on mesure une tache centrale de largeur totale \(L=1{,}9\ \text{cm}\).

  1. Calculer le demi-angle de diffraction \(\theta\) à partir des mesures géométriques.
  2. En déduire la longueur d'onde \(\lambda\) du laser utilisé.
  3. Identifier la couleur probable de ce laser (rouge ≈ 630-700 nm, vert ≈ 510-560 nm, bleu ≈ 450-490 nm).

1. \(\theta \approx \dfrac{L/2}{D} = \dfrac{0{,}0095}{1{,}5} \approx 6{,}33\times10^{-3}\ \text{rad}\).

2. \(\theta=\dfrac{\lambda}{a} \Rightarrow \lambda = \theta\times a = 6{,}33\times10^{-3}\times80\times10^{-6} \approx 5{,}06\times10^{-7}\ \text{m} = 506\ \text{nm}\).

3. \(506\ \text{nm}\) correspond à la plage du vert (limite bleu-vert).

Exercice 7 — Diffraction d'ondes sonores autour d'un obstacle★★★★★

Un son de fréquence \(f=500\ \text{Hz}\), se propageant dans l'air à \(v_{son}=340\ \text{m/s}\), rencontre une ouverture de largeur \(a=1{,}0\ \text{m}\) (une porte, par exemple).

  1. Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) de ce son.
  2. Calculer le demi-angle de diffraction \(\theta\) (en degrés), et commenter : le son contourne-t-il bien l'obstacle (diffraction significative) ?
  3. Reprendre le calcul pour un son aigu \(f'=5000\ \text{Hz}\), et comparer : pourquoi entend-on souvent mieux les sons graves « à travers » une porte entrouverte que les sons aigus ?

1. \(\lambda = \dfrac{v_{son}}{f} = \dfrac{340}{500} = 0{,}68\ \text{m}\).

2. \(\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{0{,}68}{1{,}0} = 0{,}68\ \text{rad} \approx 39°\). C'est un angle très important : la diffraction est très marquée, le son se propage largement dans toutes les directions au-delà de l'ouverture.

3. \(\lambda' = \dfrac{340}{5000} = 0{,}068\ \text{m}\). \(\theta' = \dfrac{0{,}068}{1{,}0} = 0{,}068\ \text{rad} \approx 3{,}9°\), soit dix fois moins que pour le son grave. Les sons graves diffractent donc beaucoup plus que les sons aigus, ce qui explique qu'on perçoive surtout les basses fréquences à travers une porte entrouverte.

Exercice 8 — Diffraction par une fente très fine (limite du modèle)★★★★★

On diffracte un laser \(\lambda=633\ \text{nm}\) à travers une fente très fine \(a=1{,}0\ \mu\text{m}\), comparable à \(\lambda\).

  1. Calculer le rapport \(\lambda/a\).
  2. Le modèle des petits angles (\(\theta\approx\lambda/a\) en radians) suppose \(\theta\ll1\ \text{rad}\). Ce modèle reste-t-il valable ici ? Justifier.
  3. Dans ce cas, il faut utiliser la relation exacte \(\sin\theta = \dfrac{\lambda}{a}\). Calculer \(\theta\) exact (en degrés) avec cette relation, et comparer à la valeur qu'aurait donnée l'approximation des petits angles (en radians convertis en degrés).

1. \(\lambda/a = \dfrac{633\times10^{-9}}{1{,}0\times10^{-6}} = 0{,}633\).

2. \(\theta\approx0{,}633\ \text{rad}\) (soit environ 36°) n'est pas petit devant 1 : l'approximation des petits angles n'est plus valable ici, il faut utiliser la relation exacte \(\sin\theta=\lambda/a\).

3. \(\sin\theta = 0{,}633 \Rightarrow \theta = \arcsin(0{,}633) \approx 39{,}3°\).

L'approximation des petits angles aurait donné \(\theta\approx0{,}633\ \text{rad} \approx 36{,}3°\) : l'écart (\(\approx3°\)) illustre bien la limite du modèle simplifié lorsque \(a\) devient comparable à \(\lambda\).

Exercice 9 — Résolution angulaire d'un instrument optique★★★★★

Le pouvoir de résolution d'un instrument optique est limité par la diffraction sur son ouverture circulaire de diamètre \(D_{ouv}\), selon le critère de Rayleigh : \(\theta_{min}\approx1{,}22\dfrac{\lambda}{D_{ouv}}\).

On considère un télescope de diamètre \(D_{ouv}=200\ \text{mm}\), observant en lumière visible \(\lambda=550\ \text{nm}\).

  1. Calculer l'angle minimal \(\theta_{min}\) séparant deux points que ce télescope peut distinguer.
  2. Deux étoiles doubles, distantes de \(d=3{,}0\times10^{9}\ \text{km}\), sont observées depuis la Terre à une distance \(D_{obs}=50\ \text{années-lumière}\) (1 année-lumière \(\approx9{,}46\times10^{12}\ \text{km}\)). Calculer l'angle apparent \(\alpha\approx d/D_{obs}\) séparant ces deux étoiles.
  3. Ce télescope peut-il séparer ces deux étoiles ? Justifier par comparaison de \(\alpha\) et \(\theta_{min}\).

1. \(\theta_{min} = 1{,}22\times\dfrac{550\times10^{-9}}{0{,}200} \approx 1{,}22\times2{,}75\times10^{-6} \approx 3{,}36\times10^{-6}\ \text{rad}\).

2. \(D_{obs} = 50\times9{,}46\times10^{12} = 4{,}73\times10^{14}\ \text{km}\).

\(\alpha = \dfrac{d}{D_{obs}} = \dfrac{3{,}0\times10^9}{4{,}73\times10^{14}} \approx 6{,}34\times10^{-6}\ \text{rad}\).

3. \(\alpha \approx 6{,}34\times10^{-6}\ \text{rad} > \theta_{min}\approx3{,}36\times10^{-6}\ \text{rad}\) : l'angle apparent séparant les deux étoiles est supérieur à la limite de résolution du télescope, donc celui-ci peut effectivement les distinguer comme deux points séparés.

Exercice 10 — Problème ouvert : concevoir un test de diffraction★★★★★

On souhaite concevoir une expérience pédagogique de diffraction permettant de mesurer la longueur d'onde d'un laser inconnu avec une précision satisfaisante, sachant qu'on dispose de fentes calibrées \(a\in\{0{,}05\,;\,0{,}10\,;\,0{,}20\,;\,0{,}50\}\ \text{mm}\), d'un banc optique de longueur maximale \(D_{max}=2{,}5\ \text{m}\), et d'une règle graduée au millimètre pour mesurer \(L\) sur l'écran.

  1. Pour maximiser la précision de la mesure de \(\lambda\) (à partir de \(\lambda=\dfrac{aL}{2D}\)), faut-il chercher à obtenir une tache \(L\) la plus grande ou la plus petite possible, pour une même incertitude absolue de lecture sur la règle ? Justifier.
  2. Pour un laser attendu autour de \(\lambda\approx600\ \text{nm}\), en utilisant \(D=D_{max}=2{,}5\ \text{m}\), calculer la largeur \(L\) attendue pour chacune des 4 fentes disponibles.
  3. En déduire quelle fente choisir pour cette expérience, en justifiant à la fois par la précision et par la faisabilité pratique (une tache trop grande sortirait de l'écran, typiquement limité à environ 30 cm).

1. Pour une incertitude absolue fixe sur la lecture de \(L\), l'incertitude relative \(\Delta L/L\) est d'autant plus petite que \(L\) est grand. Il faut donc chercher à obtenir une tache la plus grande possible (dans la limite du raisonnable) pour minimiser l'erreur relative sur \(\lambda\).

2. \(L = \dfrac{2\lambda D}{a}\), avec \(2\lambda D = 2\times600\times10^{-9}\times2{,}5 = 3{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^2\).

Pour \(a=0{,}05\ \text{mm}\) : \(L=6{,}0\ \text{cm}\). Pour \(a=0{,}10\ \text{mm}\) : \(L=3{,}0\ \text{cm}\). Pour \(a=0{,}20\ \text{mm}\) : \(L=1{,}5\ \text{cm}\). Pour \(a=0{,}50\ \text{mm}\) : \(L=0{,}6\ \text{cm}\).

3. La fente \(a=0{,}05\ \text{mm}\) donne la tache la plus large (6,0 cm), donc la meilleure précision relative, tout en restant largement compatible avec un écran de 30 cm : c'est le meilleur choix.