Terminale spécialité · Ondes et signaux

Exercices — Circuits RC

10 exercices à difficulté croissante : charge et décharge d'un condensateur, constante de temps, applications.

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Exercice 1 — Charge d'un condensateur au bout d'un temps long★★★★★

Un condensateur de capacité \(C=100\ \mu\text{F}\) est chargé sous une tension \(E=6{,}0\ \text{V}\) à travers une résistance.

  1. Rappeler la relation entre la charge \(q\) d'un condensateur, sa capacité \(C\) et la tension \(u\) à ses bornes.
  2. Une fois le condensateur totalement chargé (\(u=E\)), calculer la charge \(q\) stockée.

1. \(q = Cu\).

2. \(q = C\times E = 100\times10^{-6}\times6{,}0 = 6{,}0\times10^{-4}\ \text{C} = 600\ \mu\text{C}\).

Exercice 2 — Calcul de la constante de temps τ★★★★★

Un circuit RC est constitué d'une résistance \(R=2{,}2\ \text{k}\Omega\) et d'un condensateur \(C=470\ \text{nF}\).

  1. Rappeler la définition de la constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC.
  2. Calculer numériquement \(\tau\), en millisecondes.

1. \(\tau = RC\).

2. \(\tau = 2200\times470\times10^{-9} = 1{,}034\times10^{-3}\ \text{s} \approx 1{,}03\ \text{ms}\).

Exercice 3 — Tension aux bornes du condensateur lors de la charge★★★★★

Un condensateur se charge à travers une résistance, sous une tension \(E=9{,}0\ \text{V}\), selon la loi \(u_C(t) = E\left(1-e^{-t/\tau}\right)\), avec \(\tau=50\ \text{ms}\).

  1. Calculer \(u_C\) à l'instant \(t=\tau\) (soit \(t=50\ \text{ms}\)).
  2. Calculer \(u_C\) à l'instant \(t=5\tau\), et commenter (le condensateur est-il alors considéré comme chargé) ?

1. \(u_C(\tau) = E(1-e^{-1}) = 9{,}0\times(1-0{,}368) = 9{,}0\times0{,}632 \approx 5{,}68\ \text{V}\), soit environ 63 % de la tension finale.

2. \(u_C(5\tau) = E(1-e^{-5}) = 9{,}0\times(1-0{,}0067) \approx 9{,}0\times0{,}9933 \approx 8{,}94\ \text{V}\), soit 99,3 % de \(E\) : on considère classiquement le condensateur comme pratiquement chargé au bout de \(5\tau\).

Exercice 4 — Décharge d'un condensateur★★★★★

Un condensateur initialement chargé sous \(U_0=12\ \text{V}\) se décharge dans une résistance selon \(u_C(t)=U_0\,e^{-t/\tau}\), avec \(\tau=200\ \text{ms}\).

  1. Calculer la tension \(u_C\) après \(t=200\ \text{ms}\) (soit \(t=\tau\)).
  2. Calculer le temps nécessaire pour que la tension descende à \(U_0/2=6{,}0\ \text{V}\) (utiliser le logarithme népérien).

1. \(u_C(\tau) = 12\times e^{-1} \approx 12\times0{,}368 \approx 4{,}41\ \text{V}\).

2. \(6{,}0 = 12\,e^{-t/\tau} \Rightarrow e^{-t/\tau}=0{,}5 \Rightarrow -t/\tau=\ln(0{,}5)\approx-0{,}693 \Rightarrow t \approx 0{,}693\times\tau = 0{,}693\times200 \approx 139\ \text{ms}\).

Exercice 5 — Détermination graphique de τ★★★★★

Sur un oscillogramme de charge d'un condensateur, on repère que la tangente à l'origine de la courbe \(u_C(t)\) coupe l'asymptote horizontale \(u_C=E\) à l'instant \(t=80\ \text{ms}\), pour \(E=5{,}0\ \text{V}\).

  1. Rappeler la propriété graphique de la tangente à l'origine permettant de lire \(\tau\) sur un oscillogramme.
  2. En déduire la valeur de \(\tau\), puis, sachant que \(R=1{,}0\ \text{k}\Omega\), calculer la capacité \(C\) du condensateur.

1. La tangente à la courbe \(u_C(t)\) à l'origine (\(t=0\)) coupe l'asymptote \(u_C=E\) exactement à l'abscisse \(t=\tau\) : c'est une méthode graphique classique de lecture de la constante de temps.

2. \(\tau = 80\ \text{ms} = 0{,}080\ \text{s}\). \(\tau=RC \Rightarrow C = \dfrac{\tau}{R} = \dfrac{0{,}080}{1000} = 8{,}0\times10^{-5}\ \text{F} = 80\ \mu\text{F}\).

Exercice 6 — Intensité du courant lors de la charge★★★★★

Lors de la charge d'un condensateur \(C=220\ \mu\text{F}\) à travers une résistance \(R=500\ \Omega\), sous une tension \(E=10\ \text{V}\), l'intensité s'écrit \(i(t) = \dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}\).

  1. Calculer \(\tau\) et l'intensité initiale \(i(0)\) (à \(t=0\), juste après la fermeture du circuit).
  2. Calculer l'intensité \(i\) à l'instant \(t=220\ \text{ms}\).
  3. Que devient l'intensité lorsque \(t\to+\infty\) ? Interpréter physiquement.

1. \(\tau = RC = 500\times220\times10^{-6} = 0{,}110\ \text{s} = 110\ \text{ms}\).

\(i(0) = \dfrac{E}{R} = \dfrac{10}{500} = 0{,}020\ \text{A} = 20\ \text{mA}\).

2. \(t/\tau = 220/110 = 2{,}0\). \(i(220\text{ms}) = 20\times e^{-2{,}0} \approx 20\times0{,}135 \approx 2{,}71\ \text{mA}\).

3. \(i\to0\) : une fois le condensateur chargé, plus aucun courant ne circule dans le circuit (le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert en régime permanent).

Exercice 7 — Exploitation d'un oscillogramme de décharge (type bac)★★★★★

On enregistre la décharge d'un condensateur à travers une résistance \(R=10\ \text{k}\Omega\). L'oscillogramme montre que la tension passe de \(U_0=8{,}0\ \text{V}\) à \(t=0\) à \(u=2{,}94\ \text{V}\) à \(t=100\ \text{ms}\).

  1. Écrire l'équation vérifiée par \(\tau\) à partir de \(u_C(t)=U_0e^{-t/\tau}\) et des valeurs lues.
  2. Isoler puis calculer \(\tau\) à l'aide du logarithme népérien.
  3. En déduire la capacité \(C\) du condensateur.

1. \(2{,}94 = 8{,}0\,e^{-0{,}100/\tau} \Rightarrow e^{-0{,}100/\tau} = \dfrac{2{,}94}{8{,}0} = 0{,}3675\).

2. \(-\dfrac{0{,}100}{\tau} = \ln(0{,}3675) \approx -1{,}001 \Rightarrow \tau \approx \dfrac{0{,}100}{1{,}001} \approx 0{,}0999\ \text{s} \approx 100\ \text{ms}\).

3. \(\tau=RC \Rightarrow C = \dfrac{\tau}{R} = \dfrac{0{,}0999}{10\,000} \approx 9{,}99\times10^{-6}\ \text{F} \approx 10\ \mu\text{F}\).

Exercice 8 — Choix de composants pour un flash photographique★★★★★

Un flash photographique utilise un condensateur \(C=1000\ \mu\text{F}\) chargé sous \(E=300\ \text{V}\) par une résistance \(R\), avant d'être déchargé quasi instantanément dans la lampe flash au moment de la prise de vue.

  1. Calculer l'énergie stockée par le condensateur une fois chargé, sachant que \(E_{stock}=\dfrac{1}{2}CU^2\).
  2. On souhaite que le flash soit prêt à l'usage (charge à 99 %, soit \(5\tau\)) en moins de \(3{,}0\ \text{s}\). Calculer la valeur maximale admissible de \(R\).

1. \(E_{stock} = \dfrac{1}{2}\times1000\times10^{-6}\times300^2 = \dfrac{1}{2}\times10^{-3}\times90\,000 = 45\ \text{J}\).

2. \(5\tau \leq 3{,}0\ \text{s} \Rightarrow \tau \leq 0{,}60\ \text{s}\). \(\tau=RC \Rightarrow R \leq \dfrac{\tau}{C} = \dfrac{0{,}60}{1000\times10^{-6}} = 600\ \Omega\).

Exercice 9 — Circuit RC comme filtre : temps de réponse et fréquence★★★★★

On associe la constante de temps \(\tau=RC\) d'un circuit RC à une fréquence caractéristique \(f_c = \dfrac{1}{2\pi RC}\). Un filtre est réalisé avec \(R=4{,}7\ \text{k}\Omega\) et \(C=10\ \text{nF}\).

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Calculer la fréquence caractéristique \(f_c\).
  3. On souhaite doubler \(f_c\) en ne changeant que la résistance. Calculer la nouvelle valeur de \(R\) nécessaire.

1. \(\tau = RC = 4700\times10\times10^{-9} = 4{,}7\times10^{-5}\ \text{s} = 47\ \mu\text{s}\).

2. \(f_c = \dfrac{1}{2\pi\tau} = \dfrac{1}{2\pi\times4{,}7\times10^{-5}} \approx \dfrac{1}{2{,}953\times10^{-4}} \approx 3387\ \text{Hz} \approx 3{,}39\ \text{kHz}\).

3. \(f_c \propto \dfrac{1}{R}\) (à \(C\) fixé) : pour doubler \(f_c\), il faut diviser \(R\) par 2, soit \(R' = 4700/2 = 2350\ \Omega = 2{,}35\ \text{k}\Omega\).

Exercice 10 — Problème ouvert : dimensionner un circuit de temporisation★★★★★

On souhaite concevoir un circuit de temporisation pour un éclairage automatique de cage d'escalier : la lumière doit s'éteindre progressivement (la tension aux bornes du condensateur, qui pilote la luminosité, doit décroître) et l'éclairage doit être considéré comme éteint (moins de 5 % de la tension initiale \(U_0\)) après exactement \(2{,}0\ \text{minutes}\). On dispose de condensateurs de capacité \(C=470\ \mu\text{F}\).

  1. Écrire l'équation permettant de déterminer \(\tau\) tel que \(u_C(t)=U_0\,e^{-t/\tau} = 0{,}05\,U_0\) pour \(t=120\ \text{s}\), et la résoudre pour exprimer \(\tau\) en fonction de \(t\) et \(\ln(0{,}05)\).
  2. Calculer numériquement \(\tau\), puis en déduire la résistance \(R\) nécessaire.
  3. En pratique, les résistances commerciales existent en valeurs normalisées (par exemple 39 kΩ ou 43 kΩ). Laquelle choisiriez-vous pour garantir que la lumière ne s'éteigne pas avant les 2 minutes prévues, et pourquoi ?

1. \(e^{-120/\tau} = 0{,}05 \Rightarrow -\dfrac{120}{\tau} = \ln(0{,}05) \Rightarrow \tau = \dfrac{-120}{\ln(0{,}05)} = \dfrac{120}{\ln(20)}\) (car \(-\ln(0{,}05)=\ln(20)\)).

2. \(\ln(20)\approx2{,}996\). \(\tau \approx \dfrac{120}{2{,}996} \approx 40{,}1\ \text{s}\).

\(R = \dfrac{\tau}{C} = \dfrac{40{,}1}{470\times10^{-6}} \approx 85\,300\ \Omega \approx 85{,}3\ \text{k}\Omega\).

3. Une résistance plus grande que 85,3 kΩ donnerait une constante de temps plus longue, donc une extinction plus tardive que prévu — inversement, une résistance trop petite éteindrait la lumière trop tôt. Parmi les valeurs usuelles disponibles autour de cette cible (par exemple 82 kΩ ou 91 kΩ dans la série E12/E24), il faut choisir la valeur immédiatement supérieure à 85,3 kΩ (ici 91 kΩ) pour garantir que l'extinction n'intervienne jamais avant les 2 minutes annoncées, quitte à être légèrement en retard plutôt qu'en avance.