Physique · Terminale · Électricité

Circuits RC : charge et décharge du condensateur

Un condensateur accumule des charges opposées sur ses armatures. Connecté à une résistance, il charge ou décharge selon une loi exponentielle caractérisée par un temps τ = RC — la même équation que le refroidissement de Newton.

Charge · \(Q = CV\) Temps caractéristique · \(\tau = RC\) Charge du condensateur · \(V_C(t) = E(1-e^{-t/RC})\)
1. Pourquoi étudier la charge et la décharge d'un condensateur ?
🎯 Objectif bac : établir et exploiter \(V_C(t) = E(1-e^{-t/RC})\) et \(V_C(t)=V_0 e^{-t/RC}\)

Un condensateur stocke de l'énergie électrique en accumulant des charges opposées sur ses armatures. Associé à une résistance, il ne charge ni ne décharge instantanément : la dynamique est exponentielle, gouvernée par un temps caractéristique τ = RC.

📸
Le flash de l'appareil photo
La pile charge lentement un condensateur (grand τ), qui se décharge quasi instantanément dans le tube flash (petit τ) pour délivrer un éclair bref et intense.
🚗
L'essuie-glace intermittent
Un circuit RC fixe le délai entre deux passages : en ajustant R (la molette de réglage), on modifie τ et donc la cadence.
📱
L'écran tactile capacitif
Ton doigt modifie localement la capacité C de l'écran ; le circuit détecte ce changement de τ pour localiser le toucher.
🎚️
Les filtres audio
Un circuit RC atténue sélectivement les basses ou les hautes fréquences dans un amplificateur, une enceinte ou une pédale d'effet.
Le condensateur ne peut pas changer de tension instantanément : plus RC est grand, plus la charge (ou la décharge) est lente.
2. Charge et décharge, en direct

Le circuit se charge (ou se décharge) réellement au cours du temps : la courbe se trace point par point pendant que le courant circule et que les armatures accumulent (ou perdent) leurs charges. Cette version te permet en plus de déterminer τ graphiquement : place la tangente à l'origine, ou utilise le curseur de mesure — exactement comme tu devras le faire sur un graphe expérimental le jour du bac.

Régime transitoire RC
courbe VC(t) asymptote (valeur finale) tangente à l'origine (déplaçable) curseur de mesure
🧭 Méthode. Fais glisser le point bleu pour incliner la tangente : elle doit épouser la pente de la courbe dès t = 0. L'endroit où elle coupe la valeur finale (ligne pointillée) te donne τ. Vérifie ce résultat avec le curseur doré, en le plaçant là où VC atteint 63 % (charge) ou 37 % (décharge) de sa valeur de départ.

Le commutateur K bascule entre deux positions : 1 relie le générateur au circuit (charge), 2 exclut le générateur et referme la boucle R‑C sur elle-même (décharge). Cliquer directement sur K fonctionne aussi.

3. Le modèle du condensateur
🎯 Objectif bac : relation charge-tension et courant du condensateur

Un condensateur est constitué de deux conducteurs (armatures) séparés par un isolant (diélectrique). Il accumule des charges opposées \(+Q\) et \(-Q\) sur ses deux armatures.

a
Relation charge-tension, valable à chaque instant :
\(Q = CV\)
\(C\) est la capacité du condensateur (en farads, F = C/V), \(V\) la tension à ses bornes (V), \(Q\) la charge portée par une armature (C).
b
Pour un condensateur plan (deux armatures parallèles de surface A, séparées de e) :
\(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{A}{e}\)
avec \(\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\ \text{F/m}\) (permittivité du vide) et \(\varepsilon_r\) la permittivité relative du diélectrique. Ordres de grandeur usuels : 1 pF à quelques centaines de µF.
c
Le courant qui charge (ou décharge) les armatures est relié à la variation de charge, donc de tension :
\(i = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}\)
En régime permanent (V constante), \(dV/dt = 0\) : le courant dans un condensateur est nul. Il ne circule que pendant les variations de tension — c'est tout l'enjeu du régime transitoire.
4. Établir et résoudre l'équation du circuit
🎯 Objectif bac : établir l'équation différentielle et ses solutions

Charge : condensateur déchargé connecté à une source E

+ − E R C i
Circuit RC série : générateur E, résistance R, condensateur C. Le courant i circule tant que le condensateur n'est pas à l'équilibre.
a
Loi des mailles (somme des tensions = 0), avec \(i = C\dfrac{dV_C}{dt}\) :
\(E - Ri - V_C = 0 \;\Longrightarrow\; E - RC\dfrac{dV_C}{dt} - V_C = 0\)
\(\dfrac{dV_C}{dt} + \dfrac{V_C}{RC} = \dfrac{E}{RC}\)
Équation différentielle linéaire du 1ᵉʳ ordre à coefficients constants — rigoureusement identique à la loi de Newton en thermodynamique.
b
Avec la condition initiale \(V_C(0) = 0\) (condensateur déchargé), la solution est :
\(V_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right)\)
Le condensateur charge exponentiellement vers E, avec la constante de temps \(\tau = RC\). Le courant associé décroît de la même façon :
\(i(t) = \dfrac{E}{R}\, e^{-t/RC}\)

Décharge : condensateur chargé (V₀), sans générateur

c
Sans source (E = 0), la même loi des mailles donne \(RC\dfrac{dV_C}{dt} + V_C = 0\), dont la solution avec \(V_C(0)=V_0\) est :
\(V_C(t) = V_0\, e^{-t/RC}\)
Le condensateur se décharge exponentiellement, avec la même constante de temps τ = RC que pour la charge.
Tableau de synthèse — le temps caractéristique τ = RC
InstantCharge — \(V_C/E\)Décharge — \(V_C/V_0\)
t = 00 %100 %
t = τ≈ 63 %≈ 37 %
t = 3τ≈ 95 %≈ 5 %
t = 5τ≈ 99 %≈ 1 %
On considère par convention le régime permanent atteint après \(5\tau\) : le condensateur est alors chargé (ou déchargé) à 99 %.
✅ Quiz d'étape — circuits RC

1. On double la résistance R, à C fixée. Le temps caractéristique τ :

2. Pendant la charge, à l'instant t = τ, la tension du condensateur a atteint :

3. En régime permanent (tension constante aux bornes du condensateur), le courant qui le traverse est :

4. Sur le graphe, on ajuste la tangente à l'origine et elle coupe l'asymptote à l'instant t = 80 ms. Que peut-on en conclure ?

🔍 Questions guidées — exploiter le simulateur

Réglez le simulateur ci-dessus ; la correction se dévoile à la demande.

🎓 Exercice type bac — corrigé détaillé

Charge d'un condensateur dans un circuit RC : temps caractéristique, tension à un instant donné, et énergie stockée.

Charge d'un condensateur
D'après un sujet de type baccalauréat · durée conseillée 40 min · calculatrice autorisée
Données. Un condensateur \(C = 100\ \text{µF}\) est chargé par une batterie de tension \(E = 12\ \text{V}\) à travers une résistance \(R = 1{,}0\ \text{k}\Omega\). À l'instant initial, le condensateur est déchargé.
Partie 1 — Temps caractéristique
  1. Calculer le temps caractéristique τ = RC.

1. \(\tau = RC = 1{,}0\times10^{3} \times 100\times10^{-6} = 0{,}10\ \text{s} =\) 100 ms.

Partie 2 — Tension après 0,10 s
  1. Calculer la tension \(V_C\) aux bornes du condensateur à \(t = 0{,}10\ \text{s}\).

2. \(V_C(0{,}10) = 12\left(1-e^{-0{,}10/0{,}10}\right) = 12(1-e^{-1}) \approx 12\times0{,}632 \approx\) 7,6 V. À \(t=\tau\), le condensateur est chargé à 63 % de la tension finale, conformément à la synthèse.

Partie 3 — Instant où V_C atteint 10 V
  1. Déterminer l'instant t pour lequel \(V_C = 10\ \text{V}\).

3. \(10 = 12\left(1-e^{-t/\tau}\right) \Rightarrow e^{-t/\tau} = 1-\dfrac{10}{12} = \dfrac{1}{6}\). D'où \(t = -\tau\ln\!\left(\dfrac{1}{6}\right) = 0{,}10\times1{,}79 \approx\) 0,18 s ≈ 179 ms ≈ 1,79 τ.

Partie 4 — Énergie stockée
  1. Calculer l'énergie stockée dans le condensateur une fois complètement chargé (\(E_C = \frac{1}{2}CV^2\)).

4. \(E_C = \dfrac{1}{2}CE^2 = 0{,}5\times100\times10^{-6}\times12^2 = 0{,}5\times10^{-4}\times144 \approx 7{,}2\times10^{-3}\ \text{J} =\) 7,2 mJ. On peut montrer que l'énergie totale fournie par la source vaut \(E\cdot Q = 2E_C\) : la moitié est stockée dans le condensateur, l'autre moitié est dissipée par effet Joule dans R pendant la charge.

📐 Formules à connaître — référentiel indispensable
Charge du condensateur
\(Q = CV\)
C en farads
Temps caractéristique
\(\tau = RC\)
en secondes
Charge (montée)
\(V_C(t)=E(1-e^{-t/RC})\)
V_C(0)=0
Décharge
\(V_C(t)=V_0\,e^{-t/RC}\)
sans générateur
Courant du condensateur
\(i = C\dfrac{dV}{dt}\)
nul en régime permanent
Énergie stockée
\(E_C = \frac{1}{2}CV^2\)
en joules
✅ Quiz final — tout le chapitre

1. R = 2,0 kΩ, C = 50 µF. Que vaut τ ?

2. Lors d'une décharge, à t = 2τ, quelle fraction de V₀ reste-t-il ?

3. À R fixée, si on augmente C, la charge du condensateur devient :

4. Dans l'analogie avec la loi de Newton (thermodynamique), la capacité électrique C correspond à :

5. À t = 0, au tout début de la charge d'un condensateur déchargé, le courant i(0) vaut :

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🧠 Carte mentale du chapitre
Circuit RC — charge et décharge
Condensateur
  • \(Q = CV\)
  • \(i = C\,dV/dt\)
  • nul en régime permanent
Charge
  • \(V_C(t)=E(1-e^{-t/RC})\)
  • \(i(t)=(E/R)e^{-t/RC}\)
  • 63 % à t = τ
Décharge
  • \(V_C(t)=V_0e^{-t/RC}\)
  • même τ = RC
  • 37 % restant à t = τ
Applications
  • Flash photo
  • Minuterie essuie-glace
  • Écran tactile, filtres audio
🎓 Points à retenir pour le bac
L'essentiel en 5 points
✓\(Q = CV\) à chaque instant ; \(i = C\,dV/dt\), nul en régime permanent.
✓Charge : \(V_C(t) = E(1-e^{-t/RC})\), avec \(\tau = RC\).
✓Décharge : \(V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}\), même constante de temps τ.
✓Repères : 63 % à t = τ, 95 % à t = 3τ, 99 % à t = 5τ (régime permanent).
✓Équation différentielle identique à la loi de Newton (thermodynamique) : même structure mathématique.
🧭 Auto-évaluation
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