Exercices — Satellites & lois de Kepler

Exercice 1 — Troisième loi de Kepler — application simple★★★★★

Un satellite décrit une orbite circulaire de rayon \(r=8{,}0\times10^6\ \text{m}\) autour de la Terre en \(T=6800\ \text{s}\).

Rappeler l'énoncé de la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire (relation entre \(T\), \(r\) et la constante \(\dfrac{4\pi^2}{GM_T}\)).
Calculer le rapport \(\dfrac{T^2}{r^3}\) pour ce satellite.

1. \(\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM_T}\) : ce rapport est une constante qui ne dépend que de l'astre attracteur (ici la Terre), pas du satellite.

2. \(\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{6800^2}{(8{,}0\times10^6)^3} = \dfrac{4{,}624\times10^7}{5{,}12\times10^{20}} \approx 9{,}03\times10^{-14}\ \text{s}^2/\text{m}^3\).

Exercice 2 — Vitesse orbitale d'un satellite★★★★★

Un satellite est en orbite circulaire de rayon \(r=7{,}0\times10^6\ \text{m}\) autour de la Terre. On donne \(G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}\) et \(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\).

Rappeler l'expression de la vitesse orbitale \(v\) pour une trajectoire circulaire.
Calculer numériquement \(v\).

1. \(v = \sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}\).

2. \(v = \sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}}{7{,}0\times10^{6}}} = \sqrt{\dfrac{3{,}98\times10^{14}}{7{,}0\times10^{6}}} = \sqrt{5{,}69\times10^{7}} \approx 7{,}54\times10^{3}\ \text{m/s} \approx 7{,}54\ \text{km/s}\).

Exercice 3 — Nature du mouvement circulaire d'un satellite★★★★★

Un satellite décrit une orbite circulaire de rayon \(r\) autour de la Terre, sous la seule action de la force de gravitation.

Écrire l'expression vectorielle de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite, en précisant sa direction.
En projetant la deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet, montrer que le mouvement est nécessairement uniforme.

1. \(\vec{F} = -\dfrac{GM_Tm}{r^2}\vec{u_r}\), dirigée du satellite vers le centre de la Terre (force centripète, attractive).

2. Dans le repère de Frenet, \(\vec{a}=\dfrac{dv}{dt}\vec{u_t}+\dfrac{v^2}{r}\vec{u_n}\). Or \(\vec{F}\) n'a pas de composante tangentielle (elle est purement radiale, donc normale). Par la deuxième loi de Newton, \(m\dfrac{dv}{dt}=0\), donc \(v\) est constante : le mouvement circulaire est uniforme.

Exercice 4 — Période d'un satellite à basse altitude★★★★★

Un satellite orbite à \(h=500\ \text{km}\) d'altitude. \(R_T=6{,}38\times10^6\ \text{m}\), \(G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}\), \(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\).

Calculer le rayon orbital \(r=R_T+h\).
En utilisant \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_T}}\), calculer la période de révolution \(T\), en secondes puis en minutes.

1. \(r = 6{,}38\times10^6+5{,}00\times10^5 = 6{,}88\times10^6\ \text{m}\).

2. \(r^3 \approx 3{,}26\times10^{20}\). \(GM_T\approx3{,}98\times10^{14}\). \(\dfrac{r^3}{GM_T}\approx8{,}19\times10^5\). \(\sqrt{8{,}19\times10^5}\approx905\).

\(T = 2\pi\times905 \approx 5687\ \text{s} \approx 94{,}8\ \text{min}\) (≈ 1h35, valeur réaliste pour l'ISS par exemple).

Exercice 5 — Poids apparent et impesanteur★★★★★

Des astronautes à bord de l'ISS, en orbite circulaire, semblent « flotter » (impesanteur apparente), alors que la gravité terrestre y est encore proche de \(90\%\) de sa valeur au sol.

Expliquer, à l'aide de la deuxième loi de Newton appliquée à un astronaute en orbite, pourquoi il ne ressent pas son poids bien que la gravitation soit toujours présente.
Ce phénomène est-il lié à une absence réelle de gravité ou à autre chose ? Justifier précisément.

1. L'astronaute et la station sont tous deux en chute libre autour de la Terre : la seule force agissant sur l'astronaute est son propre poids \(m\vec{g}\), qui lui communique exactement l'accélération centripète nécessaire à son orbite — la même que celle de la station. Comme l'astronaute et son support (la station) subissent la même accélération, il n'y a aucune force de contact (réaction du sol) entre les deux : c'est l'absence de force de réaction, et non l'absence de gravité, qui donne la sensation d'impesanteur.

2. Ce n'est donc pas une absence réelle de gravité (la Terre attire toujours l'ISS et ses occupants, sinon ils partiraient en ligne droite) : c'est un état de chute libre permanente, où le sol de la station « tombe » à la même vitesse que l'astronaute, donnant l'illusion d'apesanteur.

Exercice 6 — Comparer deux satellites à des altitudes différentes★★★★★

Deux satellites A et B sont en orbite circulaire autour de la Terre, à des rayons orbitaux respectifs \(r_A = 7{,}0\times10^6\ \text{m}\) et \(r_B = 2r_A\).

Sans calculer \(v_A\) et \(v_B\) séparément, exprimer le rapport \(\dfrac{v_B}{v_A}\) en fonction de \(r_A\) et \(r_B\), à partir de \(v=\sqrt{GM_T/r}\).
Calculer numériquement ce rapport, et conclure : le satellite le plus éloigné va-t-il plus vite ou moins vite ?
Établir de même le rapport \(\dfrac{T_B}{T_A}\) des périodes, à partir de la troisième loi de Kepler.

1. \(\dfrac{v_B}{v_A} = \dfrac{\sqrt{GM_T/r_B}}{\sqrt{GM_T/r_A}} = \sqrt{\dfrac{r_A}{r_B}}\).

2. \(\dfrac{v_B}{v_A} = \sqrt{\dfrac{r_A}{2r_A}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} \approx 0{,}707\). Le satellite B, plus éloigné, va moins vite que A (≈ 71 % de sa vitesse).

3. \(\dfrac{T^2}{r^3}\) constant \(\Rightarrow \dfrac{T_B^2}{T_A^2} = \dfrac{r_B^3}{r_A^3} = 2^3 = 8 \Rightarrow \dfrac{T_B}{T_A} = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). Le satellite B met donc environ 2,83 fois plus de temps à faire un tour.

Exercice 7 — Masse de la Terre déduite de l'orbite lunaire★★★★★

La Lune décrit une orbite quasi circulaire de rayon \(r=3{,}84\times10^8\ \text{m}\) autour de la Terre en \(T=27{,}3\ \text{jours}\). \(G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}\).

Convertir la période \(T\) en secondes.
À partir de la troisième loi de Kepler \(\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}\), établir l'expression de \(M_T\) en fonction de \(T\), \(r\) et \(G\).
Calculer numériquement \(M_T\) et comparer à la valeur de référence \(5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\).

1. \(T = 27{,}3\times24\times3600 \approx 2{,}36\times10^{6}\ \text{s}\).

2. \(M_T = \dfrac{4\pi^2r^3}{GT^2}\).

3. \(r^3 = (3{,}84\times10^8)^3 \approx 5{,}66\times10^{25}\). \(T^2 \approx 5{,}57\times10^{12}\). \(4\pi^2\approx39{,}5\).

\(M_T = \dfrac{39{,}5\times5{,}66\times10^{25}}{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}57\times10^{12}} = \dfrac{2{,}24\times10^{27}}{3{,}72\times10^{2}} \approx 6{,}02\times10^{24}\ \text{kg}\).

Valeur très proche (écart \(\approx0{,}8\%\)) de la référence \(5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\) : la méthode, basée uniquement sur l'observation de l'orbite lunaire, est validée.

Exercice 8 — Satellite géostationnaire (type bac)★★★★★

On souhaite déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire, c'est-à-dire dont la période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (\(T \approx 8{,}62\times10^{4}\ \text{s}\)).

\(G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{SI}\) \(M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}\) \(R_T=6{,}38\times10^{6}\ \text{m}\)

En utilisant la troisième loi de Kepler, établir l'expression du rayon orbital \(r\) en fonction de \(T\), \(G\) et \(M_T\).
Calculer numériquement \(r\), puis l'altitude \(h=r-R_T\) du satellite.
Expliquer pourquoi un satellite géostationnaire doit nécessairement être placé dans le plan de l'équateur.

1. \(\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T} \Rightarrow r^3 = \dfrac{GM_TT^2}{4\pi^2} \Rightarrow r = \left(\dfrac{GM_TT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\).

2. \(GM_T \approx 3{,}98\times10^{14}\). \(T^2 \approx 7{,}43\times10^{9}\). \(4\pi^2\approx39{,}5\).

\(r^3 \approx \dfrac{3{,}98\times10^{14}\times7{,}43\times10^{9}}{39{,}5} \approx 7{,}49\times10^{22}\ \Rightarrow\ r \approx 4{,}22\times10^{7}\ \text{m}\).

Altitude : \(h = r-R_T \approx 4{,}22\times10^7 - 6{,}38\times10^6 \approx 3{,}58\times10^{7}\ \text{m} \approx 35\,800\ \text{km}\) (valeur conforme à la réalité, ≈ 36 000 km).

3. Pour rester en permanence au-dessus d'un même point de la surface terrestre, le satellite doit tourner exactement à la même vitesse angulaire que la Terre et dans le même plan que sa rotation. Le plan de l'orbite, contenant nécessairement le centre de la Terre, ne peut coïncider durablement avec un point fixe de la surface que s'il coïncide avec le plan équatorial.

Exercice 9 — Orbite de transfert elliptique (type bac)★★★★★

Pour rejoindre une orbite géostationnaire (rayon \(r_2 = 4{,}22\times10^7\ \text{m}\)) depuis une orbite basse (rayon \(r_1 = 6{,}68\times10^6\ \text{m}\)), un satellite emprunte une orbite de transfert elliptique dont le périgée est à \(r_1\) et l'apogée à \(r_2\).

Rappeler la définition du demi-grand axe \(a\) d'une ellipse dont les distances extrêmes au foyer sont \(r_1\) (périgée) et \(r_2\) (apogée), puis le calculer pour cette orbite de transfert.
La troisième loi de Kepler généralisée aux orbites elliptiques s'écrit \(\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}\) (avec \(a\) le demi-grand axe). Calculer la période \(T\) de l'orbite de transfert.
En déduire la durée du trajet de transfert (la moitié de l'ellipse, du périgée à l'apogée).

1. \(a = \dfrac{r_1+r_2}{2}\) (demi-somme des distances extrêmes). \(a = \dfrac{6{,}68\times10^6+4{,}22\times10^7}{2} = \dfrac{4{,}89\times10^7}{2} \approx 2{,}44\times10^{7}\ \text{m}\).

2. \(a^3 \approx 1{,}46\times10^{22}\). \(GM_T\approx3{,}98\times10^{14}\). \(T^2 = \dfrac{4\pi^2a^3}{GM_T} = \dfrac{39{,}5\times1{,}46\times10^{22}}{3{,}98\times10^{14}} \approx 1{,}45\times10^{9}\).

\(T \approx \sqrt{1{,}45\times10^9} \approx 3{,}81\times10^{4}\ \text{s} \approx 10{,}6\ \text{h}\).

3. Le trajet du périgée à l'apogée correspond à une demi-période : \(t_{transfert} = \dfrac{T}{2} \approx 5{,}3\ \text{h}\) — c'est le principe du transfert de Hohmann, la trajectoire la plus économe en énergie pour changer d'orbite.

Exercice 10 — Deuxième loi de Kepler et vitesse aréolaire (orbite elliptique)★★★★★

Une comète décrit une orbite elliptique très excentrique autour du Soleil. Son périhélie (point le plus proche) est à \(d_P = 0{,}60\ \text{UA}\) du Soleil, son aphélie (point le plus éloigné) à \(d_A = 18\ \text{UA}\).

Énoncer la deuxième loi de Kepler (loi des aires), et expliquer qualitativement en quel point de l'orbite la comète se déplace le plus vite.
Sachant que la vitesse au périhélie est \(v_P = 42\ \text{km/s}\), et que la loi des aires implique \(d_P\,v_P = d_A\,v_A\) pour ces deux points particuliers (vitesses perpendiculaires au rayon vecteur en ces points), calculer la vitesse \(v_A\) à l'aphélie.
Commenter le rapport \(v_P/v_A\) obtenu, et relier ce résultat à la conservation d'une grandeur physique.

1. Le rayon vecteur reliant le Soleil à la comète balaie des aires égales en des durées égales. La comète se déplace donc plus vite au périhélie (proche du Soleil, sur un arc court) et plus lentement à l'aphélie (loin du Soleil, sur un arc long), pour balayer la même aire sur la même durée.

2. \(d_Pv_P=d_Av_A \Rightarrow v_A = \dfrac{d_Pv_P}{d_A} = \dfrac{0{,}60\times42}{18} = \dfrac{25{,}2}{18} = 1{,}4\ \text{km/s}\).

3. \(v_P/v_A = 42/1{,}4 = 30\), exactement égal au rapport inverse des distances \(d_A/d_P=18/0{,}6=30\) : c'est la traduction directe de la loi des aires, elle-même conséquence de la conservation du moment cinétique de la comète dans le champ de gravitation central du Soleil (aucun moment de force par rapport au Soleil, la force étant toujours radiale).