Sans vitesse horizontale
Un objet lâché est attiré vers le centre de la Terre et atteint rapidement le sol.
?Tomber sans toucher le sol
Avec une vitesse suffisante
Pendant sa chute, la surface terrestre se courbe sous lui. Si les conditions sont adaptées, sa trajectoire peut devenir une orbite.
Idée centrale : la gravitation ne disparaît pas en orbite. Elle fournit l'accélération centripète qui courbe continuellement la trajectoire du satellite.
1Mouvement circulaire dans un champ gravitationnel
On étudie un satellite de masse m en orbite circulaire de rayon r autour d'un astre de masse M. Le référentiel lié au centre de l'astre est supposé galiléen.
Force gravitationnelle
F⃗A→S = − G M m / r² · u⃗r
Le vecteur unitaire u⃗r est dirigé du centre de l'astre vers le satellite ; le signe − traduit une force dirigée vers le centre.
Accélération circulaire uniforme
a⃗ = − v² / r · u⃗r
Le vecteur vitesse est tangent à l'orbite. Le vecteur accélération est radial et centripète.
Établir la vitesse orbitale
Appliquer la deuxième loi de Newton : m a⃗ = F⃗.
Projeter suivant u⃗r : m v²/r = GMm/r².
Simplifier la masse du satellite.
v = √(GM/r)
Période de révolution
En une période T, le satellite parcourt la circonférence 2πr :
T = 2πr / v = 2π √(r³/GM)
Conséquence
Plus une orbite circulaire est éloignée, plus la vitesse orbitale est faible et plus la période est longue.
Attention : la masse du satellite n'intervient ni dans v ni dans T.
2Les trois lois de Kepler
1re loi — Orbites
Chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. Le cercle est un cas particulier d'ellipse.
2e loi — Aires
Le segment reliant la planète au Soleil balaie des aires égales pendant des durées égales.
La planète va plus vite au périhélie qu'à l'aphélie.
3e loi — Périodes
Pour des objets orbitant autour du même astre :
T² / a³ = constante
a désigne le demi-grand axe de l'ellipse. Pour une orbite circulaire, a = r.
T² / r³ = 4π² / GM
Cette dernière expression est établie à partir du mouvement circulaire et constitue la troisième loi de Kepler dans ce cas.
◎Simulateur d'orbite terrestre
Faire varier l'altitude du satellite
L'ellipse dessinée représente ici une orbite circulaire vue en perspective.
Rayon orbital r—
Vitesse v—
Période T—
Accélération a—
3Le satellite géostationnaire
Un satellite géostationnaire paraît immobile au-dessus d'un même point de l'équateur.
Orbite circulaire
Son altitude reste constante.
Plan équatorial
L'orbite appartient au plan de l'équateur.
Même sens et même période
Il tourne vers l'est avec la période de rotation sidérale terrestre : 23 h 56 min 4 s.
Calcul de l'altitude
r = ∛(GMT²/4π²)
h = r − RT ≈ 35 786 km
Piège : un satellite peut avoir une période de 24 h sans être géostationnaire s'il n'est pas circulaire, équatorial et parcouru dans le même sens que la rotation terrestre.
#Tester la troisième loi de Kepler
Pour vérifier la loi, on calcule T²/a³ pour plusieurs planètes en utilisant des unités cohérentes.
| Planète | a (10¹¹ m) | T (10⁷ s) | T²/a³ (10⁻¹⁹ s²·m⁻³) |
|---|
Conclusion attendue : les rapports sont voisins car toutes les planètes orbitent autour du même astre central, le Soleil. Les petits écarts proviennent des arrondis des données.
Capacité numérique
Avec un tableur ou Python, on peut tracer T² en fonction de a³. Si les points sont alignés avec l'origine, alors T² est proportionnel à a³. Le coefficient directeur vaut 4π²/(GMSoleil).
Tester aussi la deuxième loi
À partir de positions relevées à intervalles de temps égaux, on forme des triangles ayant le Soleil pour sommet. Avec un tableur ou Python, on calcule approximativement chaque aire par :
A ≈ ½ |xiyi+1 − yixi+1|
Des aires voisines pour des durées identiques valident numériquement la deuxième loi de Kepler, dans la limite des incertitudes et de l'approximation géométrique.
BacExercice guidé
Déterminer l'altitude géostationnaire · 7 points
Données : G = 6,67 × 10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² ; MT = 5,97 × 10²⁴ kg ; RT = 6,37 × 10⁶ m ; T = 86 164 s.
- Établir l'expression de la vitesse d'un satellite circulaire.
- En déduire T² = 4π²r³/(GMT).
- Calculer r puis l'altitude h.
- Citer les autres conditions nécessaires au caractère géostationnaire.
1. La deuxième loi de Newton donne mv²/r = GMTm/r², donc v = √(GMT/r).
2. Avec T = 2πr/v, on obtient T² = 4π²r³/(GMT).
3. r = ∛(GMTT²/4π²) = 4,22 × 10⁷ m. Ainsi h = r − RT = 3,58 × 10⁷ m ≈ 35 800 km.
4. L'orbite doit être circulaire, équatoriale et parcourue dans le sens de rotation de la Terre.
✓Quiz final
1. Dans une orbite circulaire, le vecteur accélération est :
L'accélération est centripète : a⃗ = −v²/r · u⃗r.
2. Quand le rayon orbital augmente :
v = √(GM/r) et T = 2π√(r³/GM).
3. La deuxième loi de Kepler signifie que :
La vitesse est donc plus grande quand l'objet est proche du foyer attracteur.
4. Pour être géostationnaire, un satellite doit notamment :
Il faut une orbite circulaire, équatoriale, dans le bon sens et avec la période sidérale terrestre.
★L'essentiel
Vitesse
v = √(GM/r)
Période
T = 2π√(r³/GM)
Kepler 3
T²/r³ = 4π²/GM
Géostationnaire
Circulaire + équatorial + même sens + période sidérale terrestre.