Terminale spécialité · Mécanique

Exercices — Newton & champ uniforme

10 exercices à difficulté croissante : deuxième loi de Newton, champ électrique et gravitationnel uniforme, déviation de particules, tir oblique.

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Exercice 1 — Poids et référentiel galiléen★★★★★

Une masse \(m = 2{,}0\ \text{kg}\) est en chute libre près de la surface terrestre (\(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\)).

  1. Représenter les forces s'exerçant sur la masse (on néglige les frottements).
  2. Appliquer la deuxième loi de Newton pour déterminer l'accélération du système.

1. Seul le poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) s'exerce (frottements négligés), vertical vers le bas.

2. \(\sum\vec{F} = m\vec{a} \Rightarrow m\vec{g} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g}\), soit \(a = 9{,}8\ \text{m/s}^2\), indépendant de la masse.

Exercice 2 — Force électrique sur une charge★★★★★

Une charge ponctuelle \(q = 3{,}2\times10^{-19}\ \text{C}\) est placée dans un champ électrique uniforme \(E = 2{,}0\times10^{4}\ \text{V/m}\).

  1. Rappeler la relation entre force électrique \(\vec{F}\), charge \(q\) et champ \(\vec{E}\).
  2. Calculer la norme de la force électrique subie par la charge.

1. \(\vec{F} = q\vec{E}\).

2. \(F = |q|\times E = 3{,}2\times10^{-19}\times2{,}0\times10^{4} = 6{,}4\times10^{-15}\ \text{N}\).

Exercice 3 — Centre de masse d'un système à deux corps★★★★★

Deux masses ponctuelles \(m_1=3{,}0\ \text{kg}\) en \(x_1=0\) et \(m_2=1{,}0\ \text{kg}\) en \(x_2=8{,}0\ \text{cm}\) sont reliées par une tige rigide de masse négligeable.

  1. Rappeler la formule donnant la position du centre de masse G sur l'axe (Ox).
  2. Calculer la position \(x_G\) du centre de masse.

1. \(x_G = \dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\).

2. \(x_G = \dfrac{3{,}0\times0 + 1{,}0\times8{,}0}{3{,}0+1{,}0} = \dfrac{8{,}0}{4{,}0} = 2{,}0\ \text{cm}\). G est plus proche de \(m_1\) (la masse la plus grande), conformément à l'intuition.

Exercice 4 — Chute libre verticale par la 2ᵉ loi de Newton★★★★★

Un objet de masse \(m=0{,}50\ \text{kg}\) est lâché sans vitesse initiale. On néglige les frottements de l'air, \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\).

  1. Établir l'équation différentielle du mouvement en appliquant la deuxième loi de Newton, puis en déduire \(a(t)\).
  2. Par intégrations successives, établir \(v(t)\) et \(x(t)\) (axe vertical descendant, origine au point de lâcher).
  3. Calculer la vitesse atteinte après une chute de \(2{,}0\ \text{s}\).

1. Seul le poids agit : \(m\vec{g}=m\vec{a} \Rightarrow \vec{a}=\vec{g}\), donc \(a(t)=g\) (constant).

2. \(v(t) = gt + v_0 = gt\) (car \(v_0=0\)). \(x(t) = \frac{1}{2}gt^2 + x_0 = \frac{1}{2}gt^2\) (car \(x_0=0\)).

3. \(v(2{,}0) = 9{,}8\times2{,}0 = 19{,}6\ \text{m/s}\).

Exercice 5 — Déviation d'un électron entre deux plaques (condensateur plan)★★★★★

Un électron (\(m_e = 9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}\), \(e=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}\)) pénètre horizontalement entre deux plaques d'un condensateur plan avec une vitesse \(v_0 = 2{,}0\times10^{7}\ \text{m/s}\). Le champ électrique uniforme entre les plaques vaut \(E = 1{,}0\times10^{4}\ \text{V/m}\), perpendiculaire à \(v_0\).

  1. Calculer la force électrique subie par l'électron, puis son accélération.
  2. Établir les équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\) du mouvement (on néglige le poids devant la force électrique).
  3. Sachant que la longueur des plaques est \(L=4{,}0\ \text{cm}\), calculer la déviation verticale \(y\) à la sortie des plaques.

1. \(F = eE = 1{,}6\times10^{-19}\times1{,}0\times10^{4} = 1{,}6\times10^{-15}\ \text{N}\).

\(a = \dfrac{F}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times10^{-15}}{9{,}1\times10^{-31}} \approx 1{,}76\times10^{15}\ \text{m/s}^2\).

2. Mouvement uniforme selon x : \(x(t)=v_0t\). Mouvement uniformément accéléré selon y (\(v_{0y}=0\)) : \(y(t)=\frac{1}{2}at^2\).

3. Temps de traversée : \(t = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{4{,}0\times10^{-2}}{2{,}0\times10^{7}} = 2{,}0\times10^{-9}\ \text{s}\).

\(y = \frac{1}{2}\times1{,}76\times10^{15}\times(2{,}0\times10^{-9})^2 \approx \frac{1}{2}\times1{,}76\times10^{15}\times4{,}0\times10^{-18} \approx 3{,}5\times10^{-3}\ \text{m} = 3{,}5\ \text{mm}\).

Exercice 6 — Mouvement dans un accélérateur linéaire★★★★★

Un proton (\(m_p=1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}\), \(q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}\)) est accéléré depuis le repos entre deux électrodes distantes de \(d=5{,}0\ \text{cm}\) par un champ électrique uniforme \(E=8{,}0\times10^{4}\ \text{V/m}\), colinéaire au déplacement.

  1. Calculer l'accélération du proton.
  2. Calculer la vitesse du proton à la sortie des électrodes (utiliser \(v^2=2ad\)).
  3. Calculer la durée du parcours entre les électrodes.

1. \(a = \dfrac{qE}{m_p} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times8{,}0\times10^{4}}{1{,}67\times10^{-27}} \approx 7{,}66\times10^{12}\ \text{m/s}^2\).

2. \(v = \sqrt{2ad} = \sqrt{2\times7{,}66\times10^{12}\times5{,}0\times10^{-2}} = \sqrt{7{,}66\times10^{11}} \approx 8{,}75\times10^{5}\ \text{m/s}\).

3. \(t = \dfrac{v}{a} = \dfrac{8{,}75\times10^{5}}{7{,}66\times10^{12}} \approx 1{,}14\times10^{-7}\ \text{s}\).

Exercice 7 — Plan incliné avec frottements★★★★★

Un solide de masse \(m=4{,}0\ \text{kg}\) glisse sur un plan incliné d'un angle \(\alpha=25°\) par rapport à l'horizontale. La réaction du support se limite à une composante normale \(\vec{N}\) et une force de frottement \(\vec{f}\) de norme \(f=6{,}0\ \text{N}\), opposée au mouvement. On prend \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\).

  1. Faire le bilan des forces et les projeter dans un repère lié au plan incliné (axe x le long de la pente, axe y perpendiculaire).
  2. Calculer l'accélération du solide le long du plan.

1. Selon x (le long de la pente, sens de la descente) : \(mg\sin\alpha - f = ma\). Selon y : \(N - mg\cos\alpha = 0\) (pas d'accélération perpendiculaire au plan).

2. \(a = g\sin\alpha - \dfrac{f}{m} = 9{,}8\times\sin(25°) - \dfrac{6{,}0}{4{,}0} \approx 9{,}8\times0{,}423 - 1{,}5 \approx 4{,}14 - 1{,}5 = 2{,}64\ \text{m/s}^2\).

Exercice 8 — Tir oblique dans le champ de pesanteur (type bac)★★★★★

Une balle est lancée depuis le sol avec une vitesse initiale \(v_0=15\ \text{m/s}\) faisant un angle \(\alpha=40°\) avec l'horizontale. On néglige les frottements de l'air, \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\), origine au point de lancer.

  1. Établir les équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\) à partir de la deuxième loi de Newton (seul le poids agit).
  2. Déterminer l'expression littérale de l'altitude maximale atteinte, puis la calculer.
  3. Calculer la portée du tir (distance horizontale au retour au sol).

1. \(v_{0x}=v_0\cos\alpha\approx11{,}49\ \text{m/s}\), \(v_{0y}=v_0\sin\alpha\approx9{,}64\ \text{m/s}\).

\(x(t)=v_{0x}t\) ; \(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t\).

2. Le sommet est atteint quand \(v_y=0\), soit \(t_{max}=\dfrac{v_{0y}}{g}\). Altitude max : \(y_{max}=\dfrac{v_{0y}^2}{2g} = \dfrac{9{,}64^2}{2\times9{,}8} \approx \dfrac{92{,}9}{19{,}6} \approx 4{,}74\ \text{m}\).

3. Retour au sol : \(y=0 \Rightarrow t=\dfrac{2v_{0y}}{g} \approx \dfrac{2\times9{,}64}{9{,}8} \approx 1{,}97\ \text{s}\). Portée : \(x_{max}=v_{0x}\times t \approx 11{,}49\times1{,}97 \approx 22{,}6\ \text{m}\).

Exercice 9 — Analyse d'un pointage expérimental dans un champ uniforme★★★★★

Un faisceau de particules chargées (\(m=1{,}0\times10^{-26}\ \text{kg}\), \(q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}\)) traverse une zone de champ électrique uniforme. Un dispositif d'acquisition mesure une trajectoire vérifiant \(y = 0{,}80\,x^2\) (x et y en mètres), pour \(v_0 = 5{,}0\times10^{4}\ \text{m/s}\) selon x.

  1. Rappeler l'expression générale de \(y(x)\) pour une particule chargée pénétrant selon x avec la vitesse \(v_0\) dans un champ uniforme selon y, en fonction de \(a\) (accélération) et \(v_0\).
  2. Par identification avec l'équation expérimentale, en déduire la valeur de l'accélération \(a\) subie par la particule.
  3. En déduire l'intensité du champ électrique \(E\) responsable de cette déviation.

1. \(x=v_0t \Rightarrow t=\dfrac{x}{v_0}\), et \(y=\frac{1}{2}at^2\), donc \(y = \dfrac{a}{2v_0^2}x^2\).

2. Par identification avec \(y=0{,}80\,x^2\) : \(\dfrac{a}{2v_0^2} = 0{,}80 \Rightarrow a = 0{,}80\times2\times v_0^2 = 1{,}6\times(5{,}0\times10^4)^2 = 1{,}6\times2{,}5\times10^9 = 4{,}0\times10^{9}\ \text{m/s}^2\).

3. \(a=\dfrac{qE}{m} \Rightarrow E = \dfrac{ma}{q} = \dfrac{1{,}0\times10^{-26}\times4{,}0\times10^{9}}{1{,}6\times10^{-19}} = \dfrac{4{,}0\times10^{-17}}{1{,}6\times10^{-19}} = 250\ \text{V/m}\).

Exercice 10 — Problème ouvert : lancer sur une planète inconnue★★★★★

Lors d'une mission d'exploration, une sonde effectue un lancer test à la surface d'une planète dont le champ de pesanteur \(g_p\) est inconnu. Un projectile est lancé avec une vitesse initiale \(v_0=20\ \text{m/s}\) à \(\alpha=45°\) au-dessus de l'horizontale, et on mesure une portée \(D=61{,}2\ \text{m}\).

  1. En utilisant les résultats généraux du tir oblique (portée \(D=\dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g_p}\)), établir l'expression permettant de déterminer \(g_p\) à partir des données.
  2. Calculer \(g_p\) et identifier, par comparaison avec les valeurs usuelles (Terre : 9,8 m/s² ; Lune : 1,6 m/s² ; Mars : 3,7 m/s²), sur quelle planète la mesure a probablement été faite.
  3. Sur cette même planète, calculer la durée totale de vol du projectile.

1. \(D=\dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g_p} \Rightarrow g_p = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{D}\).

2. \(\sin(2\times45°)=\sin(90°)=1\). \(g_p = \dfrac{20^2\times1}{61{,}2} = \dfrac{400}{61{,}2} \approx 6{,}54\ \text{m/s}^2\).

Cette valeur ne correspond à aucune des trois planètes citées : elle est intermédiaire entre Mars et la Terre — il pourrait s'agir de Mercure (\(g\approx3{,}7\)) ou plus probablement d'une exoplanète fictive de masse/rayon intermédiaires ; l'énoncé invite ici à comparer sans validation exacte, la démarche de calcul étant l'objectif principal.

3. Durée de vol : \(t_{vol}=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g_p} = \dfrac{2\times20\times\sin(45°)}{6{,}54} \approx \dfrac{2\times20\times0{,}707}{6{,}54} \approx \dfrac{28{,}3}{6{,}54} \approx 4{,}33\ \text{s}\).