Terminale spécialité · Mécanique

Exercices — Dynamique des fluides

10 exercices à difficulté croissante : équation de continuité, théorème de Bernoulli, effet Venturi, portance, vidange.

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Exercice 1 — Débit volumique et vitesse★★★★★

De l'eau s'écoule dans un tuyau de section \(S=4{,}0\ \text{cm}^2\) à une vitesse \(v=2{,}5\ \text{m/s}\).

  1. Rappeler la définition et l'unité du débit volumique \(D_v\).
  2. Calculer \(D_v\) en \(\text{m}^3\text{/s}\) puis en L/min.

1. \(D_v = S\times v\), en \(\text{m}^3\text{/s}\) (débit = volume écoulé par unité de temps).

2. \(D_v = 4{,}0\times10^{-4}\times2{,}5 = 1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3\text{/s} = 1{,}0\ \text{L/s} = 60\ \text{L/min}\).

Exercice 2 — Pression statique et hauteur d'eau★★★★★

Un réservoir d'eau (\(\rho=1{,}0\times10^3\ \text{kg/m}^3\)) a une hauteur d'eau \(h=1{,}8\ \text{m}\). On prend \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\), pression atmosphérique \(P_{atm}=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}\).

  1. Rappeler la loi de la statique des fluides donnant la pression au fond du réservoir.
  2. Calculer la pression totale au fond du réservoir.

1. \(P_{fond} = P_{atm} + \rho g h\).

2. \(P_{fond} = 1{,}013\times10^5 + 1000\times9{,}8\times1{,}8 = 1{,}013\times10^5 + 1{,}764\times10^4 \approx 1{,}189\times10^{5}\ \text{Pa}\).

Exercice 3 — Équation de continuité dans un tuyau à section variable★★★★★

Un tuyau a une section \(S_1=6{,}0\ \text{cm}^2\) où la vitesse vaut \(v_1=3{,}0\ \text{m/s}\), et se rétrécit vers une section \(S_2=2{,}0\ \text{cm}^2\).

  1. Énoncer l'équation de continuité pour un fluide incompressible.
  2. Calculer la vitesse \(v_2\) dans la partie étroite.

1. Pour un fluide incompressible, le débit volumique est conservé : \(S_1v_1 = S_2v_2\).

2. \(v_2 = \dfrac{S_1v_1}{S_2} = \dfrac{6{,}0\times3{,}0}{2{,}0} = 9{,}0\ \text{m/s}\).

Exercice 4 — Vidange d'un réservoir (formule de Torricelli)★★★★★

Un grand réservoir ouvert, rempli d'eau sur une hauteur \(h=2{,}0\ \text{m}\) au-dessus d'un petit orifice de vidange, se vide par cet orifice. \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\).

  1. En appliquant la relation de Bernoulli entre la surface libre (vitesse quasi nulle, pression atmosphérique) et l'orifice (pression atmosphérique également), établir l'expression de la vitesse d'écoulement \(v\) à la sortie (formule de Torricelli).
  2. Calculer numériquement \(v\).

1. Bernoulli entre la surface (indice 1, \(v_1\approx0\), altitude \(z_1=h\)) et l'orifice (indice 2, altitude \(z_2=0\)), pressions égales à \(P_{atm}\) aux deux points :

\(P_{atm}+0+\rho g h = P_{atm}+\frac{1}{2}\rho v^2+0 \Rightarrow \rho g h = \frac{1}{2}\rho v^2 \Rightarrow v=\sqrt{2gh}\).

2. \(v = \sqrt{2\times9{,}8\times2{,}0} = \sqrt{39{,}2} \approx 6{,}26\ \text{m/s}\).

Exercice 5 — Effet Venturi dans une canalisation★★★★★

Un fluide incompressible s'écoule dans une canalisation horizontale dont la section passe de \(S_1=8{,}0\ \text{cm}^2\) à \(S_2=2{,}0\ \text{cm}^2\) (rétrécissement de type Venturi). La vitesse dans la partie large est \(v_1=1{,}5\ \text{m/s}\), et la masse volumique du fluide est \(\rho=1{,}0\times10^{3}\ \text{kg/m}^3\).

  1. Utiliser l'équation de continuité pour calculer la vitesse \(v_2\) dans la partie étroite.
  2. Appliquer la relation de Bernoulli (canalisation horizontale) pour calculer la différence de pression \(P_1-P_2\).

1. Continuité : \(S_1v_1=S_2v_2 \Rightarrow v_2=\dfrac{S_1v_1}{S_2}=\dfrac{8{,}0\times1{,}5}{2{,}0}=6{,}0\ \text{m/s}\).

2. Bernoulli horizontal : \(P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2\).

\(P_1-P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2-v_1^2) = \frac{1}{2}\times1000\times(6{,}0^2-1{,}5^2) = 500\times(36-2{,}25) = 500\times33{,}75 = 16\,875\ \text{Pa} \approx 16{,}9\ \text{kPa}\).

La pression est plus faible là où la vitesse est plus grande (partie étroite) : c'est l'effet Venturi.

Exercice 6 — Portance d'une aile d'avion (modèle simplifié)★★★★★

Sur une aile d'avion, l'air s'écoule plus vite au-dessus (\(v_{sup}=95\ \text{m/s}\)) qu'en dessous (\(v_{inf}=80\ \text{m/s}\)), pour une masse volumique de l'air \(\rho_{air}=1{,}2\ \text{kg/m}^3\). On admettra une altitude identique de part et d'autre de l'aile.

  1. En appliquant Bernoulli de part et d'autre de l'aile, établir l'expression de la différence de pression \(\Delta P = P_{inf}-P_{sup}\).
  2. Calculer \(\Delta P\).
  3. Sachant que la surface portante de l'aile est \(S=40\ \text{m}^2\), calculer la force de portance \(F=\Delta P\times S\).

1. Bernoulli à même altitude : \(P_{inf}+\frac{1}{2}\rho v_{inf}^2 = P_{sup}+\frac{1}{2}\rho v_{sup}^2\), donc \(\Delta P = P_{inf}-P_{sup} = \frac{1}{2}\rho(v_{sup}^2-v_{inf}^2)\).

2. \(\Delta P = \frac{1}{2}\times1{,}2\times(95^2-80^2) = 0{,}6\times(9025-6400)=0{,}6\times2625=1575\ \text{Pa}\).

3. \(F = 1575\times40 = 63\,000\ \text{N} = 63\ \text{kN}\), dirigée vers le haut (portance) car la pression est plus faible au-dessus.

Exercice 7 — Tube de Pitot (mesure de vitesse)★★★★★

Un tube de Pitot mesure, sur un avion volant à basse altitude (\(\rho_{air}=1{,}2\ \text{kg/m}^3\)), une différence de pression entre point d'arrêt et écoulement libre de \(\Delta P = 2{,}16\times10^{3}\ \text{Pa}\).

  1. Au point d'arrêt du tube, la vitesse de l'air est nulle. En appliquant Bernoulli entre l'écoulement libre (vitesse \(v\), pression \(P\)) et le point d'arrêt (vitesse nulle, pression \(P+\Delta P\)), établir la relation entre \(v\) et \(\Delta P\).
  2. Calculer la vitesse de l'avion par rapport à l'air, en m/s puis km/h.

1. \(P+\frac{1}{2}\rho v^2 = P+\Delta P \Rightarrow \frac{1}{2}\rho v^2 = \Delta P \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2\Delta P}{\rho}}\).

2. \(v = \sqrt{\dfrac{2\times2160}{1{,}2}} = \sqrt{3600} = 60\ \text{m/s}\), soit \(60\times3{,}6=216\ \text{km/h}\).

Exercice 8 — Château d'eau alimentant un robinet en hauteur (type bac)★★★★★

Un château d'eau alimente un robinet situé \(h=15\ \text{m}\) plus bas que la surface libre de l'eau dans le réservoir. On néglige la vitesse de l'eau dans le réservoir (grande section) et les pertes de charge. \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\), \(\rho=1{,}0\times10^3\ \text{kg/m}^3\).

  1. Appliquer la relation de Bernoulli entre la surface du réservoir et la sortie du robinet (les deux points sont à la pression atmosphérique) pour établir la vitesse d'écoulement \(v\) au robinet.
  2. Calculer \(v\) numériquement.
  3. Le robinet a une section de sortie \(S=1{,}5\ \text{cm}^2\). Calculer le débit volumique, puis le temps nécessaire pour remplir un seau de \(10\ \text{L}\).

1. Comme pour la vidange (Torricelli), Bernoulli donne \(v = \sqrt{2gh}\).

2. \(v = \sqrt{2\times9{,}8\times15} = \sqrt{294} \approx 17{,}1\ \text{m/s}\).

3. \(D_v = S\times v = 1{,}5\times10^{-4}\times17{,}1 \approx 2{,}57\times10^{-3}\ \text{m}^3\text{/s} = 2{,}57\ \text{L/s}\).

Temps pour 10 L : \(t = \dfrac{10}{2{,}57} \approx 3{,}9\ \text{s}\).

Exercice 9 — Écoulement dans un système à deux étranglements successifs★★★★★

Une canalisation horizontale présente trois sections successives : \(S_1=10\ \text{cm}^2\) (\(P_1=2{,}00\times10^5\ \text{Pa}\), \(v_1=1{,}0\ \text{m/s}\)), \(S_2=4{,}0\ \text{cm}^2\), puis \(S_3=2{,}0\ \text{cm}^2\). \(\rho=1{,}0\times10^3\ \text{kg/m}^3\).

  1. Calculer les vitesses \(v_2\) et \(v_3\) dans chaque section.
  2. Calculer les pressions \(P_2\) et \(P_3\) correspondantes en appliquant Bernoulli entre la section 1 et chacune des deux autres.
  3. Commenter l'évolution de la pression au fur et à mesure du rétrécissement.

1. \(v_2 = \dfrac{S_1v_1}{S_2} = \dfrac{10\times1{,}0}{4{,}0} = 2{,}5\ \text{m/s}\). \(v_3 = \dfrac{S_1v_1}{S_3} = \dfrac{10\times1{,}0}{2{,}0} = 5{,}0\ \text{m/s}\).

2. \(P_2 = P_1+\frac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2) = 2{,}00\times10^5+500\times(1{,}0-6{,}25) = 2{,}00\times10^5-2625 \approx 1{,}974\times10^5\ \text{Pa}\).

\(P_3 = P_1+\frac{1}{2}\rho(v_1^2-v_3^2) = 2{,}00\times10^5+500\times(1{,}0-25) = 2{,}00\times10^5-12\,000 = 1{,}880\times10^5\ \text{Pa}\).

3. Plus la section se rétrécit, plus la vitesse augmente et plus la pression diminue : la pression décroît de façon monotone de la section 1 à la section 3, conformément à la relation de Bernoulli.

Exercice 10 — Problème ouvert : dimensionner une évacuation d'eau de pluie★★★★★

On souhaite dimensionner le tuyau d'évacuation d'une gouttière collectant l'eau d'un toit de \(80\ \text{m}^2\) lors d'un orage où il tombe \(30\ \text{mm}\) d'eau en \(20\ \text{minutes}\). L'eau s'évacue par un tuyau vertical, en écoulement gravitaire, depuis un point haut situé \(3{,}0\ \text{m}\) au-dessus de la sortie. \(g=9{,}8\ \text{m/s}^2\).

  1. Calculer le volume d'eau collecté pendant l'orage, puis le débit volumique moyen à évacuer (en \(\text{m}^3\text{/s}\)).
  2. En admettant un écoulement de type Torricelli, calculer la vitesse d'écoulement en sortie de tuyau.
  3. En déduire la section minimale du tuyau nécessaire pour évacuer ce débit, puis un diamètre correspondant (on rappelle \(S=\pi r^2\)).

1. Volume : \(V = \text{hauteur}\times\text{surface} = 30\times10^{-3}\times80 = 2{,}4\ \text{m}^3\).

Durée : \(20\ \text{min}=1200\ \text{s}\). Débit moyen : \(D_v = \dfrac{2{,}4}{1200} = 2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3\text{/s} = 2{,}0\ \text{L/s}\).

2. \(v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9{,}8\times3{,}0}=\sqrt{58{,}8}\approx7{,}67\ \text{m/s}\).

3. \(D_v = S\times v \Rightarrow S = \dfrac{D_v}{v} = \dfrac{2{,}0\times10^{-3}}{7{,}67} \approx 2{,}61\times10^{-4}\ \text{m}^2\).

\(S=\pi r^2 \Rightarrow r=\sqrt{\dfrac{S}{\pi}}=\sqrt{\dfrac{2{,}61\times10^{-4}}{3{,}14}}\approx\sqrt{8{,}31\times10^{-5}}\approx9{,}1\times10^{-3}\ \text{m}\), soit un diamètre \(d=2r\approx18\ \text{mm}\) — en pratique on choisirait un tuyau standard légèrement plus large (par exemple 25 mm) pour tenir compte des pertes de charge négligées ici et des débits de pointe supérieurs à la moyenne.