PROF PRIVÉ
Du tuyau d'arrosage qu'on pince à la portance d'une aile d'avion, un seul principe relie la vitesse d'un fluide à sa pression le long d'une ligne de courant.
Tu connais déjà la statique des fluides (pression, poussée d'Archimède) : un fluide au repos. Ici, le fluide se déplace — et un principe unique, découvert par Daniel Bernoulli au XVIIIe siècle, relie sa vitesse à sa pression.
Avant de parler de pression, il faut comprendre pourquoi un fluide accélère dans un conduit qui se rétrécit.
Règle le diamètre du tube large D₁, celui de l'étranglement D₂, et la vitesse d'entrée v₁. Observe comment les particules de fluide accélèrent dans la partie étroite — et comment la pression, lue sur les manomètres, y chute.
La relation de Bernoulli traduit, pour un fluide en mouvement, la conservation de l'énergie mécanique — comme tu l'as vue pour un solide, mais rapportée à l'unité de volume de fluide.
Dans un écoulement horizontal, la continuité impose v₂ > v₁ dans la section étroite ; Bernoulli impose alors P₂ < P₁. La différence de pression se mesure directement :
Un réservoir ouvert à l'air libre, rempli jusqu'à une hauteur h au-dessus d'un petit orifice percé à sa base. On applique Bernoulli entre un point 1 à la surface libre et un point 2 à l'orifice.
| Relation | Expression | Domaine de validité |
|---|---|---|
| Débit volumique | \(D_v = A\cdot v\) | Toujours |
| Continuité | \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) | Fluide incompressible, écoulement permanent |
| Bernoulli (général) | P + ½ρv² + ρgz = cste | Fluide parfait, incompressible, permanent, même ligne de courant |
| Bernoulli (horizontal) | \(P_1 + \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \dfrac{1}{2}\rho v_2^2\) | + écoulement horizontal (z₁ = z₂) |
| Torricelli | \(v = \sqrt{2gh}\) | + orifice à l'air libre, réservoir large (v₁≈0) |
1. Dans un tube dont la section diminue de moitié, à débit constant, la vitesse du fluide :
2. Dans un écoulement horizontal, là où la vitesse du fluide est la plus grande, la pression est :
3. Pour appliquer la relation de Bernoulli entre deux points, le fluide doit être :
Utilise le simulateur du tube de Venturi ; la correction se dévoile à la demande.
Vidange d'un réservoir cylindrique — application de la loi de Torricelli.
1. D'après la loi de Torricelli, \(v = \sqrt{2gh}\) = √(2 × 9,8 × 1,20) = √23,52 ≈ 4,85 m/s.
2. Dv = s·v = 2,0×10⁻⁴ × 4,85 ≈ 9,7×10⁻⁴ m³·s⁻¹ ≈ 0,97 L/s.
3. Par continuité, \(S \cdot v_S = s \cdot v\), donc \(v_S = D_v/S\) = 9,7×10⁻⁴/0,50 ≈ 1,9×10⁻³ m·s⁻¹ ≈ 1,9 mm/s. C'est environ 2500 fois plus lent que v : l'hypothèse v₁ ≈ 0 est donc très bien vérifiée.
4. Non : le réservoir se vide, donc h diminue avec le temps. Comme \(v = \sqrt{2gh}\), la vitesse de sortie diminue progressivement au fur et à mesure que le niveau baisse — le jet ralentit, contrairement à ce que suggérait le calcul instantané des questions précédentes, valable seulement sur un intervalle de temps très court où h peut être considérée comme constante.
5. La loi de Torricelli \(v = \sqrt{2gh}\) ne dépend pas de la section de l'orifice, seulement de h : donc v' = v ≈ 4,85 m/s, inchangée. En revanche, le débit Dv' = s'·v' = (s/2)·v = Dv/2 : le débit est divisé par deux, proportionnellement à la section de l'orifice.
1. Un tube a une section A₁ = 8 cm² où v₁ = 2 m/s. Quelle est la vitesse v₂ dans une section A₂ = 2 cm² ?
2. Dans la relation de Bernoulli P + ½ρv² + ρgz = cste, le terme ρgz représente :
3. Un réservoir d'eau a un niveau à h = 0,80 m au-dessus d'un orifice. Quelle est approximativement la vitesse de sortie (g = 9,8 m·s⁻²) ?
4. Pourquoi la relation de Bernoulli ne s'applique-t-elle pas telle quelle à un fluide réel très visqueux (comme du miel) ?
5. On perce un second orifice, deux fois plus grand, à la même hauteur h. Que vaut la vitesse de sortie par rapport au premier orifice ?
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