Terminale spécialité · Ondes et signaux

Exercices — Lunette astronomique

10 exercices à difficulté croissante : lentille mince, condition afocale, image intermédiaire, grossissement, choix d'un oculaire, pouvoir séparateur.

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Exercice 1 — Vocabulaire de la lunette★★★★★

Une lunette astronomique est constituée de deux lentilles convergentes L₁ et L₂ de distances focales \(f'_1 = 80\ \text{cm}\) et \(f'_2 = 2{,}0\ \text{cm}\).

  1. Laquelle des deux lentilles est l'objectif ? l'oculaire ? Justifier.
  2. Que signifie « la lunette est réglée en position afocale » ?
  3. Pourquoi ce réglage est-il confortable pour l'observateur ?

1. L'objectif est la lentille de grande focale, tournée vers l'astre : L₁ (80 cm). L'oculaire est la lentille de petite focale, côté œil : L₂ (2,0 cm).

2. Le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer objet de l'oculaire : \(F'_1 = F_2\). Un objet à l'infini donne alors une image à l'infini.

3. L'image finale étant à l'infini, un œil normal l'observe sans accommoder, donc sans fatigue.

Exercice 2 — Relation de conjugaison (rappel de 1re)★★★★★

Un objet AB de hauteur 2,0 cm est placé à 15 cm devant une lentille convergente de distance focale \(f' = 5{,}0\ \text{cm}\) : \(\overline{OA} = -15\ \text{cm}\).

  1. Calculer \(\overline{OA'}\) avec la relation de conjugaison.
  2. Calculer le grandissement γ et la hauteur de l'image. Décrire l'image.

1. \(\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{5{,}0} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{3-1}{15} = \dfrac{2}{15}\), donc \(\overline{OA'} = 7{,}5\ \text{cm}\).

2. \(\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{7{,}5}{-15} = -0{,}50\) ; \(\overline{A'B'} = \gamma\,\overline{AB} = -1{,}0\ \text{cm}\). Image réelle (\(\overline{OA'} > 0\)), renversée (γ < 0), deux fois plus petite.

Exercice 3 — À partir des vergences★★★★★

Sur la notice d'une lunette, on lit : objectif de vergence \(V_1 = 1{,}25\ \delta\), oculaire de vergence \(V_2 = 25\ \delta\).

  1. Calculer les distances focales \(f'_1\) et \(f'_2\).
  2. Calculer la longueur \(O_1O_2\) de la lunette réglée en position afocale.
  3. Calculer son grossissement G.

1. \(f'_1 = \dfrac{1}{V_1} = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}800\ \text{m} = 80{,}0\ \text{cm}\) ; \(f'_2 = \dfrac{1}{25} = 0{,}040\ \text{m} = 4{,}0\ \text{cm}\).

2. \(O_1O_2 = f'_1 + f'_2 = 80{,}0 + 4{,}0 = 84{,}0\ \text{cm}\).

3. \(G = \dfrac{f'_1}{f'_2} = \dfrac{80{,}0}{4{,}0} = 20\). Remarque : on a aussi \(G = V_2/V_1 = 25/1{,}25 = 20\).

Exercice 4 — Image intermédiaire de Jupiter★★★★★

Jupiter est observé sous un diamètre apparent \(\alpha = 2{,}2\times10^{-4}\ \text{rad}\). La lunette a un objectif de focale \(f'_1 = 1{,}20\ \text{m}\) et un oculaire de focale \(f'_2 = 6{,}0\ \text{mm}\). On utilise \(\tan\alpha \approx \alpha\).

  1. Où se forme l'image intermédiaire A₁B₁ ? Calculer sa taille.
  2. Calculer le grossissement G, puis l'angle α′ sous lequel on voit Jupiter dans la lunette (en rad puis en degrés).

1. Jupiter étant à l'infini, A₁B₁ se forme dans le plan focal image de l'objectif. \(A_1B_1 = f'_1\,\alpha = 1200\ \text{mm}\times2{,}2\times10^{-4} \approx 0{,}26\ \text{mm}\).

2. \(G = \dfrac{1200}{6{,}0} = 200\). \(\alpha' = G\alpha = 200\times2{,}2\times10^{-4} = 4{,}4\times10^{-2}\ \text{rad}\), soit \(4{,}4\times10^{-2}\times\dfrac{180}{\pi} \approx 2{,}5°\) : Jupiter apparaît comme un petit disque.

Exercice 5 — Choisir un oculaire★★★★★

Une lunette a un objectif de focale \(f'_1 = 700\ \text{mm}\). On dispose de quatre oculaires de focales 25 mm, 12 mm, 9 mm et 6 mm. Pour observer les anneaux de Saturne, il faut un grossissement compris entre 50 et 120.

  1. Calculer le grossissement obtenu avec chaque oculaire.
  2. Quels oculaires conviennent ? Lequel donne l'image la plus grande ?

1. \(G = 700/f'_2\) : 25 mm → 28 ; 12 mm → 58 ; 9 mm → 78 ; 6 mm → 117.

2. Conviennent : les oculaires de 12 mm, 9 mm et 6 mm (G entre 50 et 120). Le 6 mm donne le plus grand grossissement (117), donc l'image la plus grande. Le 25 mm (G = 28) est trop faible.

Exercice 6 — Démontrer G = f′₁/f′₂★★★★★

On considère une lunette afocale : objectif L₁ (centre O₁, focale \(f'_1\)), oculaire L₂ (centre O₂, focale \(f'_2\)). Un astre est vu à l'œil nu sous l'angle α ; à travers la lunette sous l'angle α′.

  1. Faire un schéma : placer O₁, O₂, F′₁ = F₂, et tracer le rayon issu du bord de l'astre passant par O₁. Placer B₁.
  2. Exprimer α en fonction de A₁B₁ et \(f'_1\) (petits angles).
  3. Tracer le rayon passant par B₁ et O₂. Exprimer α′ en fonction de A₁B₁ et \(f'_2\).
  4. En déduire l'expression du grossissement \(G = \alpha'/\alpha\).

1. Le rayon passant par O₁ n'est pas dévié : il coupe le plan focal image de L₁ en B₁. A₁ est en F′₁ = F₂ (voir le schéma de la section 3 du cours).

2. Dans le triangle rectangle O₁A₁B₁ : \(\tan\alpha = \dfrac{A_1B_1}{O_1A_1} = \dfrac{A_1B_1}{f'_1}\), donc \(\alpha \approx \dfrac{A_1B_1}{f'_1}\).

3. Le rayon B₁O₂ n'est pas dévié par L₂ ; comme B₁ est dans le plan focal objet de L₂, tous les rayons issus de B₁ ressortent parallèles à lui, sous l'angle α′. Dans le triangle O₂A₁B₁ : \(\alpha' \approx \dfrac{A_1B_1}{f'_2}\).

4. \(G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} = \dfrac{A_1B_1/f'_2}{A_1B_1/f'_1} = \dfrac{f'_1}{f'_2}\).

Exercice 7 — Concevoir une lunette★★★★★

Un club veut fabriquer une lunette afocale de grossissement \(G = 20\) dans un tube de longueur \(O_1O_2 = 1{,}05\ \text{m}\).

  1. Écrire les deux relations reliant \(f'_1\), \(f'_2\), G et \(O_1O_2\).
  2. En déduire \(f'_1\) et \(f'_2\).
  3. Quelles vergences faut-il commander ?

1. \(f'_1 = G\,f'_2\) et \(O_1O_2 = f'_1 + f'_2\).

2. \(O_1O_2 = G f'_2 + f'_2 = (G+1)f'_2\) donc \(f'_2 = \dfrac{1{,}05}{21} = 0{,}050\ \text{m} = 5{,}0\ \text{cm}\) et \(f'_1 = 20\times5{,}0 = 100\ \text{cm}\).

3. \(V_1 = 1/1{,}00 = 1{,}0\ \delta\) et \(V_2 = 1/0{,}050 = 20\ \delta\).

Exercice 8 — Séparer deux cratères lunaires★★★★★

Deux petits cratères de la Lune sont distants de \(d = 2{,}0\ \text{km}\). Distance Terre-Lune : \(D = 3{,}84\times10^{5}\ \text{km}\). L'œil distingue deux points s'ils sont vus sous un angle supérieur à \(\varepsilon = 3{,}0\times10^{-4}\ \text{rad}\). L'objectif de la lunette a une focale \(f'_1 = 900\ \text{mm}\).

  1. Sous quel angle α voit-on les deux cratères à l'œil nu ? Sont-ils séparés ?
  2. Quel grossissement minimal faut-il pour les séparer ?
  3. En déduire la focale maximale de l'oculaire à utiliser.

1. \(\alpha \approx \dfrac{d}{D} = \dfrac{2{,}0}{3{,}84\times10^{5}} \approx 5{,}2\times10^{-6}\ \text{rad}\), très inférieur à ε : les cratères ne sont pas séparés à l'œil nu.

2. Il faut \(\alpha' = G\alpha \ge \varepsilon\), soit \(G \ge \dfrac{\varepsilon}{\alpha} = \dfrac{3{,}0\times10^{-4}}{5{,}2\times10^{-6}} \approx 58\).

3. \(G = f'_1/f'_2 \ge 58 \Rightarrow f'_2 \le \dfrac{900}{58} \approx 15{,}5\ \text{mm}\). Il faut un oculaire de focale au plus 15 mm environ (par exemple 12 mm ou 10 mm).

Exercice 9 — Observer un oiseau : objet à distance finie★★★★★

On utilise une lunette (objectif \(f'_1 = 50{,}0\ \text{cm}\), oculaire \(f'_2 = 2{,}0\ \text{cm}\)) pour observer un oiseau de 20 cm de haut, posé à 50 m. L'oiseau n'est donc plus exactement « à l'infini » : \(\overline{O_1A} = -50\ \text{m}\).

  1. Calculer la position \(\overline{O_1A_1}\) de l'image intermédiaire. Comparer à \(f'_1\).
  2. Calculer la taille de l'image intermédiaire.
  3. Pour que l'image finale reste à l'infini, où faut-il placer l'oculaire ? De combien faut-il allonger le tube par rapport au réglage « astronomique » ?

1. \(\dfrac{1}{\overline{O_1A_1}} = \dfrac{1}{0{,}500} - \dfrac{1}{50} = 2{,}00 - 0{,}02 = 1{,}98\ \text{m}^{-1}\), donc \(\overline{O_1A_1} \approx 0{,}505\ \text{m} = 50{,}5\ \text{cm}\) : légèrement au-delà de F′₁ (50,0 cm).

2. \(\gamma = \dfrac{\overline{O_1A_1}}{\overline{O_1A}} = \dfrac{0{,}505}{-50} \approx -1{,}0\times10^{-2}\), donc \(A_1B_1 \approx 1{,}0\times10^{-2}\times20\ \text{cm} = 2{,}0\ \text{mm}\) (renversée).

3. A₁B₁ doit être dans le plan focal objet de l'oculaire : \(O_1O_2 = 50{,}5 + 2{,}0 = 52{,}5\ \text{cm}\) au lieu de \(50{,}0 + 2{,}0 = 52{,}0\ \text{cm}\). Il faut allonger le tube d'environ 5 mm : c'est le rôle de la molette de mise au point.

Exercice 10 — Problème ouvert : suivre la Station spatiale internationale (type bac)★★★★★

La Station spatiale internationale (ISS) mesure environ 109 m d'envergure et orbite à \(h = 420\ \text{km}\) d'altitude, à la vitesse \(v = 7{,}66\ \text{km·s}^{-1}\). Un astronome amateur veut l'observer quand elle passe à la verticale, avec une lunette : \(f'_1 = 1000\ \text{mm}\), oculaire \(f'_2 = 10\ \text{mm}\), champ apparent de l'oculaire 50°. Pouvoir séparateur de l'œil : \(\varepsilon = 3{,}0\times10^{-4}\ \text{rad}\).

  1. Sous quel angle voit-on l'ISS à l'œil nu ? Peut-on distinguer sa forme ?
  2. Calculer le grossissement et l'angle α′ sous lequel on la voit dans la lunette. Conclure.
  3. Le champ réel observé (portion de ciel visible dans l'oculaire) vaut le champ apparent divisé par G. Le calculer.
  4. Calculer la vitesse angulaire de l'ISS vue du sol (en °/s), puis la durée pendant laquelle elle reste dans le champ si la lunette est immobile. Que peut-on en conclure sur la difficulté de l'observation ?

1. \(\alpha \approx \dfrac{109}{420\times10^{3}} \approx 2{,}6\times10^{-4}\ \text{rad} < \varepsilon\) : à l'œil nu l'ISS apparaît comme un point lumineux, sa forme n'est pas visible.

2. \(G = 1000/10 = 100\) ; \(\alpha' = 100\times2{,}6\times10^{-4} = 2{,}6\times10^{-2}\ \text{rad} \approx 1{,}5°\), bien supérieur à ε : on distingue la forme de la station (panneaux solaires).

3. Champ réel \(= 50°/100 = 0{,}50°\).

4. \(\omega \approx \dfrac{v}{h} = \dfrac{7{,}66}{420} \approx 1{,}8\times10^{-2}\ \text{rad·s}^{-1} \approx 1{,}0\ °/\text{s}\). Durée dans le champ : \(\Delta t \approx \dfrac{0{,}50}{1{,}0} \approx 0{,}5\ \text{s}\). L'ISS traverse le champ en une demi-seconde : il faut suivre son mouvement à la main (ou avec une monture motorisée), ce qui rend l'observation très difficile. Compromis : un oculaire de plus grande focale donne un grossissement plus faible mais un champ réel plus large.