1. Vecteur vitesse et vecteur variation de vitesse

🎯 Objectif bac : construire un vecteur vitesse à partir d'une chronophotographie, définir le vecteur variation de vitesse

Rappels de seconde

Dans un référentiel donné, la position d'un système modélisé par un point matériel est repérée par un vecteur position. Sa vitesse, à un instant donné, est représentée par un vecteur vitesse, tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Construire un vecteur vitesse à partir d'une chronophotographie

Une chronophotographie enregistre la position d'un système à intervalles de temps réguliers τ (durée entre deux prises de vue successives). Pour estimer le vecteur vitesse en un point M_i, on utilise les positions juste avant et juste après ce point :

$\displaystyle \vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$

Ce vecteur a la direction du segment M_i-1M_i+1, le sens du mouvement, et une norme égale à la distance M_i-1M_i+1 divisée par 2τ.

Chronophotographie d'une balle en chute, avec vitesse initiale horizontale

Les écarts horizontaux entre points successifs sont constants (pas de force horizontale) ; les écarts verticaux augmentent (chute accélérée par le poids). Durée entre deux prises de vue : τ = 40 ms.

Le vecteur variation de vitesse

Entre deux instants voisins t_i et t_i+1, le vecteur variation de vitesse est défini par :

$\Delta\vec{v} = \vec{v}(t_{i+1}) - \vec{v}(t_i)$

Attention : ce vecteur peut être non nul même si la valeur de la vitesse ne change pas — un simple changement de direction suffit (c'est le cas d'un mouvement circulaire uniforme, étudié plus loin dans ce chapitre).

Exercices d'application directe

Calcule d'abord au brouillon, puis clique pour vérifier ta réponse.

Exercice 1 — Construire un vecteur vitesse

Sur la chronophotographie ci-dessus, la distance M₀M₂ mesure 11,7 cm à l'échelle du schéma (échelle : 1 cm sur le schéma = 1 cm réel), et τ = 40 ms. Calculer la valeur de v(M₁).

1

$v(M_1) \approx M_0M_2 / (2\tau)$

$v(M_1) = 0{,}117 / (2\times0{,}040) = 0{,}117/0{,}080$

v(M₁) ≈ 1,46 m/s

Exercice 2 — Vecteur variation de vitesse nul ?

Un système est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Que peut-on dire de son vecteur variation de vitesse Δv entre deux instants quelconques ?

1

Mouvement rectiligne uniforme : la valeur de la vitesse est constante ET sa direction ne change pas (trajectoire rectiligne).

v(t_i+1) = v(t_i) en tant que vecteurs : Δv = 0 (vecteur nul).

2. Sommer et soustraire des vecteurs

📐 Capacité mathématique exigible : sommer et soustraire des vecteurs

Somme de deux vecteurs — méthode « bout à bout »

Pour construire la somme $\vec{u} + \vec{v}$, on trace $\vec{u}$, puis on trace $\vec{v}$ en plaçant son origine à l'extrémité de $\vec{u}$. Le vecteur somme va de l'origine de $\vec{u}$ à l'extrémité de $\vec{v}$ (relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$).

Vecteur opposé et différence de deux vecteurs

Le vecteur opposé de $\vec{v}$, noté $-\vec{v}$, a la même direction et la même norme que $\vec{v}$, mais un sens opposé. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé :

$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$

📋 Méthode bac — construire graphiquement $\vec{u} - \vec{v}$

Tracer $\vec{u}$ à partir d'une origine donnée.
Tracer le vecteur opposé $-\vec{v}$ (même longueur que $\vec{v}$, sens inversé), en plaçant son origine à l'extrémité de $\vec{u}$.
Le vecteur qui va de l'origine de $\vec{u}$ à l'extrémité de $-\vec{v}$ est le vecteur différence $\vec{u}-\vec{v}$.

Exemple — construction de $\vec{u}-\vec{v}$

On trace u, puis −v (même longueur que v, sens opposé) à partir de l'extrémité de u. Le vecteur u−v va de l'origine de u à l'extrémité de −v.

⚠️ Pièges classiques

• Le vecteur opposé $-\vec{v}$ a la même norme que $\vec{v}$ : on ne change que le sens de la flèche, jamais sa longueur.

• L'ordre compte : $\vec{u}-\vec{v} \ne \vec{v}-\vec{u}$ (ces deux vecteurs sont opposés l'un de l'autre).

Exercice d'application directe

Exercice — Construire une différence de vecteurs

Deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ ont la même norme mais des directions différentes. Décrire les deux étapes de la construction graphique de $\vec{a}-\vec{b}$.

1

Tracer $\vec{a}$ depuis une origine choisie.

2

Tracer $-\vec{b}$ (même norme que $\vec{b}$, sens opposé) à partir de l'extrémité de $\vec{a}$.

Le vecteur allant de l'origine de $\vec{a}$ à l'extrémité de $-\vec{b}$ est $\vec{a}-\vec{b}$.

✅ Quiz d'étape

Q1. Pour estimer le vecteur vitesse en un point M_i d'une chronophotographie, on utilise :

Q2. Le vecteur opposé de $\vec{v}$ a :

Q3. Un système parcourt un cercle à vitesse constante en valeur (mouvement circulaire uniforme). Son vecteur variation de vitesse Δv entre deux instants voisins est :

3. Relation approchée entre Δv et la résultante des forces

🎯 Objectif bac : utiliser la relation approchée entre Δv et ΣF, dans les deux sens

Entre deux instants voisins séparés d'une courte durée Δt, la variation du vecteur vitesse d'un système de masse m est reliée à la résultante des forces $\sum\vec{F}$ qu'il subit par la relation approchée :

$\displaystyle \sum\vec{F} \approx \frac{m\,\Delta\vec{v}}{\Delta t} \qquad\text{soit}\qquad \Delta\vec{v} \approx \frac{\Delta t}{m}\sum\vec{F}$

Cette relation — une première approche simplifiée de la deuxième loi de Newton, approfondie en terminale — montre deux choses essentielles : $\Delta\vec{v}$ a toujours la même direction et le même sens que $\sum\vec{F}$ (puisque m > 0 et Δt > 0) ; et à force donnée, plus la masse est grande, plus la variation de vitesse est faible — c'est le rôle d'inertie de la masse.

Elle peut s'utiliser dans les deux sens :

1

Connaissant les forces appliquées (et la masse), on estime la variation de vitesse Δv sur une courte durée Δt.

2

Connaissant le comportement cinématique (Δv construit à partir d'une chronophotographie), on estime la résultante des forces appliquées.

🎮 Cartographe — direction de Δv et donc de ΣF

Clique sur un type de mouvement pour construire Δv = v₂ − v₁ et voir dans quelle direction s'exerce la résultante des forces.

📋 Méthode bac — utiliser la relation approchée (calcul de valeurs)

Identifier ce qui est connu : masse m, durée Δt, et soit la valeur de ΣF, soit celle de Δv.
Appliquer $\Sigma F \approx m\Delta v/\Delta t$ (en valeurs) pour isoler l'inconnue.
Préciser la direction : Δv et ΣF ont toujours la même direction et le même sens.

Exemple résolu — des forces vers Δv

Un système de masse m = 1,0 kg est soumis à une résultante des forces de valeur ΣF = 3,0 N pendant Δt = 0,50 s. Estimer la variation de vitesse.

$\Delta v \approx \dfrac{\Delta t}{m}\Sigma F = \dfrac{0{,}50}{1{,}0}\times3{,}0 = 1{,}5\ \text{m/s}$

Exemple résolu — de Δv vers les forces

Un système de masse m = 0,50 kg voit sa vitesse varier de Δv = 2,0 m/s pendant Δt = 0,20 s. Estimer la valeur de la résultante des forces appliquées.

$\Sigma F \approx \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{0{,}50\times2{,}0}{0{,}20} = 5{,}0\ \text{N}$

⚠️ Pièges classiques

• Cette relation est une approximation, d'autant plus fiable que Δt est petit (instants voisins) : elle n'est pas valable pour de longues durées où les forces peuvent avoir varié.

• Δv et ΣF sont colinéaires et de même sens — jamais perpendiculaires, jamais opposés (si m > 0).

• Si Δv = 0 (mouvement rectiligne uniforme), on en déduit ΣF ≈ 0 : c'est le principe d'inertie, vu en seconde, qui n'est qu'un cas particulier de cette relation.

Exercices d'application directe

Calcule d'abord au brouillon, puis clique pour vérifier ta réponse.

Exercice 1 — Estimer une variation de vitesse

Un skieur de masse m = 70 kg subit une résultante des forces de valeur ΣF = 140 N pendant Δt = 1,0 s. Estimer la variation de vitesse correspondante.

$\Delta v \approx \dfrac{\Delta t}{m}\Sigma F = \dfrac{1{,}0}{70}\times140$

Δv ≈ 2,0 m/s

Exercice 2 — Estimer une résultante des forces

Une chronophotographie d'un chariot de masse m = 0,80 kg montre une variation de vitesse Δv = 0,60 m/s entre deux instants séparés de Δt = 0,10 s. Estimer la valeur de la résultante des forces appliquées.

$\Sigma F \approx \dfrac{m\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{0{,}80\times0{,}60}{0{,}10}$

ΣF ≈ 4,8 N

4. Capacité numérique — programmer l'étude de la relation

💻 Capacité numérique exigible : utiliser un langage de programmation pour étudier la relation approchée

Le programme officiel demande de savoir utiliser un langage de programmation pour étudier la relation approchée entre Δv et ΣF. Concrètement, on simule pas à pas le mouvement d'un système : à chaque petit intervalle de temps Δt, on met à jour sa vitesse grâce à la relation $\Delta\vec{v} \approx (\Sigma\vec{F}/m)\,\Delta t$, puis sa position grâce à cette nouvelle vitesse. C'est ce qu'on appelle une méthode d'Euler — un algorithme, pas seulement une formule.

1

On part des conditions initiales. Position (x, y) et vitesse (vx, vy) au départ, ainsi que la masse m et le pas de temps Δt choisi — plus il est petit, plus la relation approchée est fidèle au mouvement réel.

2

À chaque étape, on met à jour la vitesse en appliquant la relation approchée à chaque composante séparément : vx devient vx + (Fx/m)×Δt, et de même pour vy. C'est exactement $\Delta\vec{v} \approx (\Sigma\vec{F}/m)\Delta t$, traduit composante par composante.

3

On met ensuite à jour la position à l'aide de cette nouvelle vitesse : x devient x + vx×Δt, et de même pour y — cohérent avec la définition du vecteur vitesse vue en seconde.

4

On répète ces deux étapes autant de fois que nécessaire : chaque itération avance le système d'un pas de temps Δt, construisant progressivement toute la trajectoire.

script.py

m = 0.50              # masse du système (kg)
g = 9.8               # intensité de la pesanteur (N/kg)
Fx, Fy = 0, -m*g       # résultante des forces : le poids seul (N)
dt = 0.02              # pas de temps (s)

vx, vy = 5.0, 0.0        # vitesse initiale (m/s)
x, y = 0.0, 1.0          # position initiale (m)

for i in range(50):
    vx = vx + (Fx/m)*dt   # Δv ≈ (ΣF/m)Δt, en x
    vy = vy + (Fy/m)*dt   # Δv ≈ (ΣF/m)Δt, en y
    x = x + vx*dt
    y = y + vy*dt
    print(i, round(x,2), round(y,2))

Pourquoi cette capacité est-elle exigible ? Elle montre que la relation approchée n'est pas qu'une formule isolée : répétée un grand nombre de fois avec un petit pas de temps, elle permet de reconstruire toute une trajectoire — c'est exactement le principe des logiciels de simulation utilisés en travaux pratiques pour comparer un mouvement mesuré (par chronophotographie) à un mouvement modélisé.

Au bac, on te demandera le plus souvent de compléter quelques lignes d'un tel script plutôt que de l'écrire en entier : entraîne-toi à repérer quelle ligne traduit quelle étape du raisonnement physique.

Exercice numérique — modifier un script

Dans le script ci-dessus, quelle ligne faudrait-il modifier pour simuler un système soumis uniquement à une force horizontale constante Fx = 2,0 N, sans pesanteur (Fy = 0) ?

1

Seule la ligne qui définit les composantes de la résultante des forces doit changer.

Remplacer Fx, Fy = 0, -m*g par Fx, Fy = 2.0, 0 — le reste du script (mise à jour de la vitesse puis de la position) reste identique, car il traduit la relation approchée de façon générale, quelle que soit la force appliquée.

📝 Exercice type bac — synthèse du chapitre

Freinage d'un chariot

Un chariot de masse m = 1,2 kg roule en ligne droite. Une chronophotographie donne v(t₁) = 2,4 m/s et v(t₂) = 1,6 m/s (même direction), avec t₂ − t₁ = 0,20 s.

1. Calculer le vecteur variation de vitesse Δv entre t₁ et t₂ (valeur et sens par rapport au mouvement).
2. En déduire la valeur de la résultante des forces appliquées au chariot sur cet intervalle.
3. Quelle est la direction de cette résultante des forces, par rapport au mouvement du chariot ? Le chariot accélère-t-il ou ralentit-il ? Justifier.

1. Vecteur variation de vitesse

1

Δv = v(t₂) − v(t₁) = 1,6 − 2,4 = −0,8 m/s (en valeur algébrique, orientée dans le sens du mouvement).

Δv a une valeur de 0,8 m/s, dirigé en sens opposé au mouvement (puisque la vitesse diminue).

2. Résultante des forces

$\Sigma F \approx \dfrac{m|\Delta v|}{\Delta t} = \dfrac{1{,}2\times0{,}8}{0{,}20}$

ΣF ≈ 4,8 N

3. Direction et interprétation

ΣF a la même direction que Δv, donc elle est dirigée en sens opposé au mouvement : elle freine le chariot. Le chariot ralentit — cohérent avec la diminution de v observée entre t₁ et t₂.

✅ Quiz final — tout le chapitre

Q1. La formule $v(M_i) \approx \overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\tau)$ permet de construire :

Q2. Pour construire $\vec{u}-\vec{v}$ graphiquement, on trace :

Q3. Dans la relation approchée $\Sigma\vec{F} \approx m\Delta\vec{v}/\Delta t$, le vecteur ΣF a :

Q4. À force donnée, augmenter la masse d'un système a pour effet, sur sa variation de vitesse Δv :

Q5. Dans un script Python simulant un mouvement par la méthode d'Euler, à chaque itération on met à jour :

Q6. Un mouvement circulaire uniforme a un vecteur variation de vitesse Δv non nul. On peut en déduire que la résultante des forces :

🧠 Carte mentale du chapitre

🎓 Points à retenir pour le bac

Bilan express

✓Vecteur vitesse à partir d'une chronophotographie : v(M_i) ≈ M_i-1M_i+1 / (2τ).

✓Δv = v(t_i+1) − v(t_i) : peut être non nul même si la valeur de v ne change pas (changement de direction seul).

✓Différence de vecteurs : u − v = u + (−v), construite graphiquement en traçant −v depuis l'extrémité de u.

✓Relation approchée : ΣF ≈ mΔv/Δt. Δv et ΣF ont toujours la même direction et le même sens.

✓Δv = 0 ⟺ ΣF ≈ 0 : c'est le principe d'inertie, cas particulier de cette relation.

✓Capacité numérique : simuler un mouvement pas à pas (méthode d'Euler) en mettant à jour la vitesse puis la position à chaque intervalle Δt.

Formules essentielles

Vecteur vitesse (chronophoto)

$v(M_i)≈M_{i-1}M_{i+1}/2\tau$

Vecteur variation de vitesse

$\Delta v = v_{i+1}-v_i$

Différence de vecteurs

$u-v = u+(-v)$

Relation approchée

$\Sigma F ≈ m\Delta v/\Delta t$

🚀 Pour aller plus loin…

Expérimental

Réaliser sa propre chronophotographie

Le programme demande de savoir réaliser et/ou exploiter une vidéo ou une chronophotographie d'un système en mouvement. Avec un smartphone en mode « rafale » ou un logiciel de pointage vidéo, on peut filmer la chute d'une balle, en extraire les positions successives, et construire les vecteurs vitesse puis Δv exactement comme dans ce chapitre — pour ensuite tester la relation approchée sur des données réelles.

Expérimental

Comparer simulation et mesure

En confrontant la trajectoire obtenue par le script Python de ce chapitre à celle mesurée par chronophotographie sur un même mouvement (une chute avec vitesse initiale horizontale, par exemple), on peut évaluer la qualité de l'approximation — et observer que réduire le pas de temps Δt rapproche la simulation de la trajectoire réelle.

Histoire des sciences

D'Euler à la deuxième loi de Newton

Isaac Newton énonce sa deuxième loi du mouvement en 1687 dans les Principia Mathematica. Un demi-siècle plus tard, le mathématicien suisse Leonhard Euler développe la méthode numérique portant son nom pour résoudre pas à pas ce type de relation — un procédé toujours utilisé aujourd'hui dans la quasi-totalité des logiciels de simulation physique.

Bilan du thème

Fin du thème « Mouvement et interactions »

Ces trois chapitres ont parcouru l'ensemble du thème : interactions fondamentales et notion de champ (chapitre 4), description d'un fluide au repos (chapitre 5), puis mouvement d'un système (chapitre 6). Le programme de spécialité se poursuit avec le thème « L'énergie : conversions et transferts », qui aborde les phénomènes électriques et mécaniques sous l'angle énergétique.

🎓 Bilan d'auto-évaluation

Coche honnêtement chaque compétence que tu maîtrises. Ta progression est enregistrée automatiquement sur cet appareil.

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Chapitre 6 — Mouvement d'un système

Rappels de seconde

Construire un vecteur vitesse à partir d'une chronophotographie

Le vecteur variation de vitesse

Exercices d'application directe

Somme de deux vecteurs — méthode « bout à bout »

Vecteur opposé et différence de deux vecteurs

Exercice d'application directe

Exercices d'application directe

Formules essentielles

Réaliser sa propre chronophotographie

Comparer simulation et mesure

D'Euler à la deuxième loi de Newton

Fin du thème « Mouvement et interactions »