Situation
Trois groupes mesurent la même durée et trouvent 2,31 s, 2,37 s et 2,34 s.
Qui a raison ? Peut-on choisir une seule valeur ? À combien de décimales faut-il l'écrire ?
?La question à laquelle répond ce cours
Réponse scientifique
On ne choisit pas arbitrairement une mesure. On exploite toute la série pour donner :
une estimation ± une incertitude
Le résultat indique à la fois la valeur la plus plausible et la qualité de sa détermination.
Le fil conducteur du chapitre
Répéter et observer la dispersion.
Calculer une moyenne et une incertitude-type.
Écrire le résultat sans fausse précision.
Le comparer éventuellement à une référence.
1Pourquoi les mesures varient-elles ?
En répétant exactement la même mesure, on n'obtient généralement pas exactement la même valeur. Cette dispersion peut venir de l'instrument, du protocole, de l'expérimentateur ou du phénomène étudié.
Valeur moyenne
Elle constitue la meilleure estimation de la grandeur lorsque les mesures sont répétées dans les mêmes conditions.
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
Écart-type expérimental
Il décrit la dispersion des valeurs individuelles autour de la moyenne. Plus il est grand, plus les mesures sont dispersées.
s = √[Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)]
À ne pas confondre
L'écart-type s décrit la dispersion des mesures. L'incertitude-type u(x̄) décrit la qualité de l'estimation de la moyenne.
L'écart-type s décrit la dispersion des mesures. L'incertitude-type u(x̄) décrit la qualité de l'estimation de la moyenne.
Exemple guidé — quatre mesures d'une durée
On obtient : 2,31 s ; 2,37 s ; 2,34 s ; 2,38 s.
La moyenne vaut x̄ = 2,35 s : elle se situe au centre des valeurs.
La calculatrice donne l'écart-type échantillon s ≈ 0,031 s : il décrit la dispersion.
L'incertitude de type A vaut uA(x̄) = 0,031/√4 ≈ 0,016 s.
Après arrondissement cohérent : t = (2,35 ± 0,02) s.
Laboratoire virtuel — répéter une mesure
On mesure une longueur dont la valeur réelle simulée est 10,00 cm. Observe l'effet du nombre de mesures et de la dispersion.
Moyenne—
Écart-type s—
uA(x̄)—
À observer : augmenter n diminue généralement uA(x̄), mais ne corrige pas un décalage systématique.
⌨Appliquer avec sa calculatrice
L'objectif n'est pas de mémoriser tous les menus. Il faut savoir entrer la série, relever n, x̄ et l'écart-type échantillon sx, puis calculer soi-même uA = sx/√n.
Piège classique
Les calculatrices affichent souvent deux écarts-types. Pour estimer l'incertitude de type A à partir d'un échantillon de mesures, relève sx ou σn−1, et non σx ou σn. Les symboles peuvent varier selon le modèle.
Les calculatrices affichent souvent deux écarts-types. Pour estimer l'incertitude de type A à partir d'un échantillon de mesures, relève sx ou σn−1, et non σx ou σn. Les symboles peuvent varier selon le modèle.
NumWorks
- Ouvrir Statistiques.
- Saisir les mesures dans V1. Laisser les effectifs N1 = 1.
- Aller dans l'onglet Stats.
- Relever l'effectif, la moyenne et Écart-type échantillon.
- Dans Calculs, effectuer sx/√n.
À lire : « Écart-type échantillon », pas seulement « Écart-type ».
▶ Vidéo : incertitude type AManuel officiel NumWorksTI-83 Premium CE / TI-84
- Appuyer sur stats, puis 1:Modifier.
- Saisir les mesures dans L1.
- stats → CALC → Stats 1-Var.
- Choisir la liste L1, puis Calculer.
- Relever n, x̄ et Sx, puis calculer Sx/√n.
À lire : Sx. La ligne σx correspond à l'autre convention d'écart-type.
▶ Vidéo : incertitude type A▶ Tutoriel TI-83 Premium CECasio Graph 35+E II / 90+E
- Ouvrir le menu STAT.
- Saisir les mesures dans List1.
- Choisir CALC, puis 1-Var.
- Vérifier que la liste utilisée est List1.
- Relever n, x̄ et sx, puis calculer sx/√n.
À lire : sx ou xσn−1 selon le modèle, plutôt que xσn.
▶ Graph 35+E II / 90+E▶ Nouvelle Casio Graph Math+Test immédiat : entre les quatre valeurs 2,31 ; 2,37 ; 2,34 ; 2,38. Tu dois obtenir x̄ = 2,35 s et sx ≈ 0,031 s. Si tu lis environ 0,027 s, tu as sélectionné l'écart-type σx au lieu de sx.
2Évaluer une incertitude-type
Évaluation de type A
On dispose d'une série de mesures indépendantes. L'incertitude-type sur la moyenne est :
uA(x̄) = s / √n
Plus le nombre de mesures augmente, plus la moyenne est précisément estimée.
Évaluation de type B
On utilise une information sur l'instrument ou le protocole : résolution, tolérance du constructeur, lecture sur une graduation…
uB(x) : obtenue à partir des données fournies
Au bac, la relation adaptée est généralement donnée lorsqu'elle est nécessaire.
Exemple simple : une balance affiche 12,34 g avec une résolution de 0,01 g. La résolution renseigne sur la limite de lecture, mais elle ne garantit pas à elle seule l'absence de biais ou un bon étalonnage.
| Situation | Approche | Information exploitée |
|---|---|---|
| 20 mesures d'une période | Type A | Moyenne et écart-type de la série |
| Une lecture avec une règle graduée | Type B | Résolution et protocole de lecture |
| Valeur donnée par un constructeur | Type B | Tolérance ou fiche technique |
3Incertitude-type composée
Une grandeur est souvent calculée à partir de plusieurs grandeurs mesurées. Les incertitudes de ces mesures contribuent alors à l'incertitude du résultat.
Méthode attendue
Identifier les grandeurs mesurées et leurs incertitudes-types.
Utiliser la formule de composition fournie dans l'énoncé.
Calculer u(y), puis arrondir correctement le résultat final.
Exemple : une vitesse v = d / Δt
Si les incertitudes-types u(d) et u(Δt) sont connues, l'énoncé peut fournir :
u(v) = v × √[(u(d)/d)² + (u(Δt)/Δt)²]
Pour d = 2,00 m, u(d) = 0,01 m, Δt = 1,20 s et u(Δt) = 0,03 s, on obtient v = 1,67 m·s⁻¹ et u(v) ≈ 0,04 m·s⁻¹.
Important : il ne faut pas inventer une règle de composition. En terminale, la formule nécessaire est fournie. On doit surtout savoir l'identifier et l'exploiter.
4Écrire et interpréter le résultat
Écriture
La valeur mesurée et l'incertitude doivent avoir la même position décimale. On conserve en général un ou deux chiffres significatifs pour l'incertitude.
L = (12,34 ± 0,05) cm
On évite : L = (12,3417 ± 0,05) cm.
Comparer à une référence
On calcule l'écart normalisé :
z = |xmes − xréf| / u(x)
Si z ≤ 2, les valeurs sont considérées comme compatibles selon le critère usuel du programme.
Attention au vocabulaire : on ne dit pas « la mesure est vraie » ou « exacte ». On dit qu'elle est compatible ou non compatible avec la valeur de référence selon un critère donné.
BacExercice guidé
Détermination expérimentale de g · 6 points
Un groupe obtient les valeurs suivantes pour l'intensité de la pesanteur, en m·s⁻² :
9,72 ; 9,84 ; 9,79 ; 9,81 ; 9,76 ; 9,86
- Calculer la moyenne de la série.
- Un tableur donne s = 0,052 m·s⁻². Calculer l'incertitude-type de type A sur la moyenne.
- Écrire le résultat avec un nombre adapté de chiffres.
- Comparer à gréf = 9,81 m·s⁻² à l'aide de l'écart normalisé.
1. ḡ = 9,797 m·s⁻², soit 9,80 m·s⁻².
2. uA(ḡ) = 0,052/√6 = 0,021 m·s⁻².
3. g = (9,80 ± 0,02) m·s⁻².
4. z = |9,80 − 9,81|/0,02 = 0,5. Comme z ≤ 2, le résultat est compatible avec la référence.
✓Quiz final
1. Quand le nombre de mesures augmente, que devient en général uA(x̄) ?
uA(x̄) = s/√n : répéter améliore l'estimation de la moyenne.
2. Quelle phrase est correcte ?
La répétition réduit l'incertitude statistique, mais ne supprime pas nécessairement un biais.
3. On trouve z = 1,4. Quelle conclusion formuler ?
On conclut uniquement à la compatibilité selon le critère choisi.
4. Pour une grandeur calculée à partir de plusieurs mesures :
La règle dépend de la relation entre les grandeurs ; la formule est fournie au niveau terminale.
★L'essentiel à retenir
Une série
Calculer ou exploiter la moyenne et l'écart-type. Discuter l'instrument et le protocole.
Deux approches
Type A : statistique. Type B : informations sur l'instrument ou la méthode.
Une composition
Pour une grandeur calculée, exploiter la formule d'incertitude-type composée fournie.
Une conclusion
Écrire avec des chiffres cohérents et conclure à la compatibilité grâce à l'écart normalisé.