1. Le vecteur vitesse

🎯 Objectif bac : définir v comme dérivée de OM et le tracer sur une trajectoire

Un point mobile M décrit une trajectoire. Sa position à l'instant t est repérée par le vecteur position OM(t), de coordonnées (x(t), y(t)) dans un repère cartésien.

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$\displaystyle \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} \quad\Longrightarrow\quad v_x = \frac{dx}{dt}\ ,\ \ v_y = \frac{dy}{dt}$

Propriétés du vecteur vitesse : il est toujours tangent à la trajectoire au point considéré, orienté dans le sens du mouvement, et sa norme (en m/s) traduit la rapidité du déplacement.

Construction géométrique — méthode des points encadrants

Sur une chronophotographie (points M₀, M₁, …, Mₙ relevés à intervalles de temps égaux τ), on approche le vecteur vitesse en Mᵢ par :

$\displaystyle \vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$

🎮 Animation — construis le vecteur vitesse pas à pas

Point choisi Mᵢ M3

Choisis un point, puis clique sur les étapes pour construire le vecteur vitesse.

📋 Méthode bac — tracer un vecteur vitesse

Repérer le point Mᵢ demandé et ses deux voisins Mᵢ₋₁ et Mᵢ₊₁.
Tracer le vecteur Mᵢ₋₁Mᵢ₊₁ (du point précédent vers le point suivant).
Calculer sa norme : distance Mᵢ₋₁Mᵢ₊₁ (avec l'échelle !) divisée par 2τ.
Reporter ce vecteur en Mᵢ avec l'échelle de vitesse imposée par l'énoncé.

2. Le vecteur accélération

🎯 Objectif bac : définir a comme dérivée de v et établir ses coordonnées

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (donc la dérivée seconde du vecteur position) :

$\displaystyle \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} \quad\Longrightarrow\quad a_x = \frac{dv_x}{dt}\ ,\ \ a_y = \frac{dv_y}{dt}$

Il traduit la variation du vecteur vitesse : changement de norme (le point accélère ou freine) et/ou changement de direction (la trajectoire tourne). Son unité est le m/s².

Construction géométrique

Même logique que pour la vitesse, appliquée un cran plus haut : on construit v(Mᵢ₋₁) et v(Mᵢ₊₁), on les translate à une origine commune, et le vecteur Δv qui relie leurs extrémités donne :

$\displaystyle \vec{a}(M_i) \approx \frac{\vec{v}(M_{i+1}) - \vec{v}(M_{i-1})}{2\tau}$

🎮 Animation — construis le vecteur accélération en 4 étapes

Point choisi Mᵢ M4

Pour construire a en Mᵢ, on a besoin des vecteurs vitesse aux points voisins.

⚠️ Pièges classiques

• Oublier de diviser par 2τ (et non τ) dans la méthode des points encadrants.

• Croire que a = 0 dès que la norme de v est constante : faux si la direction change (mouvement circulaire uniforme !).

• Confondre l'échelle des longueurs, celle des vitesses et celle des accélérations sur un même schéma.

✅ Quiz d'étape — vitesse et accélération

Q1. Le vecteur vitesse en un point d'une trajectoire courbe est :

Q2. On donne $x(t) = 3t^2$ et $y(t) = 5t$. Les coordonnées de $\vec{v}(t)$ sont :

Q3. Avec la méthode des points encadrants, le vecteur vitesse en M₃ se construit à partir de :

3. Caractériser le vecteur accélération selon le mouvement

🎯 Objectif bac : caractériser a pour 5 mouvements de référence

🎮 Simulateur — 6 mouvements, vecteurs v et a en direct

Type de mouvement

vecteur vitesse vvecteur accélération apoints à intervalles égaux

Vitesse de la simulation ×1.0

Tableau de synthèse (à connaître par cœur)

Mouvement	Direction de a	Norme de a
Rectiligne	colinéaire à la trajectoire	variable (norme et sens)
Rectiligne uniforme	$\vec{a} = \vec{0}$
Rectiligne uniformément accéléré	colinéaire à v, même sens	constante
Circulaire	composante tangentielle + composante vers le centre	variable
Circulaire uniforme	perpendiculaire à $\vec{v}$, vers le centre (centripète)	constante = $v^2/R$

4. Le repère de Frenet (mouvement circulaire)

🎯 Objectif bac : citer et exploiter les coordonnées de v et a dans le repère de Frenet

Pour un mouvement circulaire, on utilise un repère mobile, lié au point M : le repère de Frenet (M, uₜ, uₙ).

uₜ — vecteur unitaire tangent

Tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement.

uₙ — vecteur unitaire normal

Perpendiculaire à uₜ, dirigé vers le centre du cercle.

$\displaystyle \vec{v} = v\,\vec{u}_t \qquad \vec{a} = \frac{dv}{dt}\,\vec{u}_t + \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_n$

      aₜ = dv/dt : composante tangentielle, elle traduit la variation de la norme de la vitesse.

      aₙ = v²/R : composante normale (centripète), elle traduit le changement de direction.

      Mouvement circulaire uniforme : v constant ⟹ aₜ = 0 ⟹ a = (v²/R)·uₙ, entièrement dirigé vers le centre.

🎮 Animation — base de Frenet et décomposition de a sur un mouvement circulaire

v = v·uₜa et ses composantes aₜ·uₜ, aₙ·uₙ (pointillés)

Type de mouvement circulaire

Rayon R 120

Mouvement circulaire uniforme : a_t = 0, l'accélération est entièrement portée par u_n (centripète).

5. Mise en situation : simulateur de tir (mouvement dans le plan)

🎯 Objectif bac : réinvestir position, vitesse, accélération sur un mouvement plan concret

On lance un projectile (balle, ballon…) avec une vitesse initiale v₀, inclinée d'un angle θ par rapport à l'horizontale. Seul le poids agit pendant le vol : fais varier v₀ et θ ci-dessous et observe comment évoluent la trajectoire et les vecteurs v et a.

🎮 Simulateur — tir avec vitesse initiale et angle réglables

vecteur vitesse v (change en direction et en norme)vecteur accélération a = g (constant, vertical vers le bas)points « chronophotographiés » à intervalles de temps égaux

Vitesse initiale v₀ 18 m/s

Angle de tir θ 45°

Vitesse de la simulation ×0.8

      Ce qu'il faut observer : le vecteur v change sans cesse — en direction (la trajectoire tourne) et en norme (il ralentit à la montée, accélère à la descente) — alors que le vecteur a reste constant, vertical, dirigé vers le bas, quels que soient v₀ et θ. C'est la signature d'un mouvement soumis au seul poids.
    

📋 Lien avec la suite du programme

Ce chapitre décrit le mouvement (position, vitesse, accélération) sans expliquer sa cause.
Le chapitre suivant (2ᵉ loi de Newton, $\Sigma\vec{F} = m\vec{a}$) montrera que ce $\vec{a}$ constant et vertical est exactement celui produit par le poids seul.
C'est aussi le geste que tu reproduiras au TP : pointer une vidéo de tir (basket) image par image pour retrouver expérimentalement ces mêmes vecteurs v et a.

📝 Exercice type bac — corrigé détaillé

Exercice — Le marteau de l'athlète (d'après sujet type bac)

Lors d'une épreuve de lancer de marteau, l'athlète fait tourner le boulet (masse m = 4,0 kg) au bout d'un câble, selon un mouvement que l'on modélise comme circulaire uniforme de rayon R = 1,7 m dans un plan horizontal. Le boulet effectue un tour complet en T = 0,60 s.

1. Calculer la vitesse v du boulet.
2. Donner l'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet, puis calculer sa norme.
3. Représenter (qualitativement) les vecteurs v et a en un point de la trajectoire.
4. Juste après le lâcher, quel est le mouvement du boulet dans le plan horizontal (on néglige les frottements de l'air) ? Justifier.

Question 1 — Vitesse du boulet

1

Le mouvement est circulaire uniforme : la norme de la vitesse est constante. Le boulet parcourt un tour complet, soit un périmètre 2πR, pendant une période T.

$\displaystyle v = \frac{2\pi R}{T}$

$v = \dfrac{2\pi \times 1{,}7}{0{,}60} \approx 17{,}8\ \text{m/s} \approx 18\ \text{m/s}$

v ≈ 18 m/s (soit environ 64 km/h)

Question 2 — Vecteur accélération dans le repère de Frenet

1

Expression générale dans la base de Frenet : a = (dv/dt)·uₜ + (v²/R)·uₙ.

2

Le mouvement est uniforme : v = constante ⟹ dv/dt = 0 ⟹ la composante tangentielle est nulle.

$\displaystyle \vec{a} = \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_n$

3

Application numérique :

$a = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{(17{,}8)^2}{1{,}7} \approx 186\ \text{m/s}^2 \approx 1{,}9\times10^{2}\ \text{m/s}^2$

a ≈ 1,9×10² m/s², dirigée vers le centre du cercle (≈ 19 fois g !)

Question 3 — Représentation des vecteurs

1

v : tangent au cercle au point considéré, dans le sens de rotation.

2

a : perpendiculaire à v, dirigé du point M vers le centre C du cercle (centripète). Tu peux vérifier sur l'animation de la section 4 ci-dessus, mode « uniforme ».

Question 4 — Mouvement après le lâcher

1

Après le lâcher, dans le plan horizontal, plus aucune force horizontale ne s'exerce sur le boulet (frottements négligés ; le poids est vertical).

2

D'où a = 0 dans le plan horizontal ⟹ le vecteur vitesse horizontal est constant.

Mouvement rectiligne uniforme dans le plan horizontal, selon la tangente au cercle au point de lâcher.

⚠️ Erreur classique : le boulet ne part PAS « vers l'extérieur selon le rayon », il part selon la tangente — c'est la direction du vecteur vitesse au moment du lâcher.

Exercice — Dérivation des équations horaires

Un mobile a pour équations horaires (unités SI) : x(t) = 2,0·t et y(t) = 8,0·t − 4,9·t².

1. Établir les coordonnées du vecteur vitesse, puis du vecteur accélération.
2. Que peut-on dire du vecteur accélération ? Quel mouvement reconnaît-on ?

Question 1 — Dérivation

1

On dérive chaque coordonnée de position par rapport au temps :

$\displaystyle v_x = \frac{dx}{dt} = 2{,}0\ \text{m/s} \qquad v_y = \frac{dy}{dt} = 8{,}0 - 9{,}8\,t$

2

On dérive à nouveau pour obtenir l'accélération :

$\displaystyle a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0 \qquad a_y = \frac{dv_y}{dt} = -9{,}8\ \text{m/s}^2$

Question 2 — Interprétation

1

$\vec{a} = (0\ ;\ -9{,}8)$ : vecteur constant, vertical, dirigé vers le bas, de norme $9{,}8\ \text{m/s}^2 = g$.

C'est un mouvement dans le champ de pesanteur uniforme (chute avec vitesse initiale) : trajectoire parabolique — étudié en détail au chapitre 2.

✅ Quiz final — tout le chapitre

Q4. Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération est :

Q5. Dans le repère de Frenet, la composante tangentielle de l'accélération vaut :

Q6. Sur une chronophotographie, des points de plus en plus espacés indiquent :

Q7. Un satellite en orbite circulaire uniforme (R = 7,0×10⁶ m ; v = 7,5×10³ m/s). Sa norme d'accélération vaut environ :

🧠 Carte mentale du chapitre

🎓 Points à retenir pour le bac

Bilan express

✓$\vec{v} = d\vec{OM}/dt$ : toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement. Coordonnées : $v_x = dx/dt,\ v_y = dy/dt$.

✓$\vec{a} = d\vec{v}/dt$ : traduit toute variation du vecteur vitesse (norme et/ou direction). Coordonnées : $a_x = dv_x/dt,\ a_y = dv_y/dt$.

✓Construction sur chronophotographie : points encadrants, division par 2τ.

✓Frenet (circulaire) : $\vec{a} = (dv/dt)\vec{u}_t + (v^2/R)\vec{u}_n$. Uniforme ⟹ $a_t = 0$ ⟹ $\vec{a}$ centripète de norme $v^2/R$.

✓Mouvement rectiligne uniforme ⟺ $\vec{a} = \vec{0}$. Rectiligne uniformément accéléré ⟺ $\vec{a}$ constant colinéaire à $\vec{v}$.

✓Vitesse constante en norme n'implique PAS $\vec{a} = \vec{0}$ (contre-exemple : circulaire uniforme).

Formules essentielles

Vitesse

$\vec{v} = \dfrac{d\vec{OM}}{dt}$

Accélération

$\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$

Points encadrants

$\vec{v}(M_i) \approx \tfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$

Frenet

$\vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_n$

Circulaire uniforme

$a = \tfrac{v^{2}}{R}$ (centripète)

Période / vitesse

$v = \tfrac{2\pi R}{T}$

🚀 Pour aller plus loin…

Expérimental

Pointer une vraie vidéo

Avec un logiciel gratuit comme Tracker (physlets.org/tracker), filme un objet en mouvement (ballon, balle qui roule…) et pointe sa position image par image. Tu peux ensuite reconstruire les vecteurs vitesse et accélération avec la méthode du cours — c'est exactement le principe du TP « tir au basket » de ce chapitre.

Numérique

Programmer la construction en Python

La capacité numérique du programme demande de représenter les vecteurs accélération avec un langage de programmation. Le script Python du chapitre (numpy + matplotlib, fonction quiver) calcule les différences finies (points encadrants) et trace tous les vecteurs automatiquement — à tester sur Capytale ou Basthon.

Histoire des sciences

De Galilée à Frenet

La description mathématique du mouvement naît avec Galilée (chute des corps, ~1600) et Newton (calcul différentiel, 1687). Le repère mobile porte le nom de Jean Frédéric Frenet, mathématicien français du XIXᵉ siècle, qui l'a formalisé pour décrire les courbes dans l'espace.

Vers le chapitre 2

Pourquoi a change-t-il ?

Ce chapitre décrit le mouvement sans expliquer sa cause. Le chapitre 2 (deuxième loi de Newton) fait le lien : $\Sigma\vec{F} = m\vec{a}$ — les forces appliquées à un système déterminent son accélération. Le mouvement parabolique aperçu dans le simulateur y trouvera son explication complète.

Chapitre 1 — Décrire un mouvement