Exercices — Décrire un mouvement — Terminale

Ce que ces exercices vérifient (programme officiel)

Chaque exercice cible une capacité exigible du BO pour la partie « Décrire un mouvement » (vecteurs position, vitesse, accélération ; méthode des points encadrants ; repère de Frenet pour un mouvement circulaire). Le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme (2ᵉ loi de Newton, chute et projectiles) relève du chapitre 5 et n'est pas traité ici : les exercices 8 et 9 restent volontairement purement descriptifs (position, vitesse, accélération), sans en expliquer la cause.

Ex.1 Définir le vecteur vitesse comme dérivée du vecteur position ; établir ses coordonnées et calculer sa norme à partir des équations horaires
Ex.2 · Ex.9 Utiliser la méthode des points encadrants sur une chronophotographie pour estimer un vecteur vitesse (cas théorique, puis cas réel de pointage vidéo)
Ex.3 · Ex.8 Établir les coordonnées du vecteur accélération à partir des équations horaires du mouvement ; caractériser sa constance et sa direction par rapport à la vitesse
Ex.4 Caractériser un mouvement (rectiligne, rectiligne uniforme, rectiligne uniformément accéléré, circulaire, circulaire uniforme) à partir des propriétés du vecteur accélération
Ex.5 · Ex.7 ★ Exploiter la relation liant vitesse et période dans un mouvement circulaire uniforme (v = 2πR/T) et calculer l'accélération centripète v²/R
Ex.6 Exploiter les coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Frenet pour un mouvement circulaire non uniforme
Ex.10 Construire graphiquement les vecteurs vitesse puis accélération à partir d'une chronophotographie (vecteur déplacement, référentiel, repère)
Ex.11 ★ Exercice de synthèse, peu guidé — restitution organisée des connaissances sur l'ensemble du chapitre

Exercice 1 — Le chariot sur la rampe du parking

Vecteur vitesse : définition + calcul

🛒 Vie quotidienne

Un chariot de supermarché abandonné se met à rouler tout seul sur une rampe rectiligne et légèrement inclinée d'un parking. On repère sa position par son abscisse \(x(t)\) le long de la rampe, avec \(x(t) = 1{,}2\,t^2\) (\(x\) en m, \(t\) en s), pour \(t \in [0\,;\,2{,}0\text{ s}]\).

1) Rappeler la définition du vecteur vitesse à partir du vecteur position. Quelles sont sa direction et son sens par rapport à la trajectoire, quelle que soit la forme de celle-ci (rectiligne ou non) ?

2) Établir l'expression littérale de \(v_x(t)\). Calculer \(v(t=0{,}50\text{ s})\) et \(v(t=1{,}5\text{ s})\).

3) En déduire l'expression de \(a_x(t)\). Le mouvement du chariot est-il uniforme, uniformément accéléré, ou ni l'un ni l'autre ? Justifier à partir de la valeur trouvée pour \(a_x(t)\).

1) \(\vec{v} = \dfrac{d\vec{OM}}{dt}\). Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire au point considéré, et orienté dans le sens du mouvement — quelle que soit la forme de la trajectoire.
2) \(v_x(t) = \dfrac{dx}{dt} = 2{,}4\,t\) (m/s). \(v(0{,}50\text{ s}) = 1{,}2\) m/s. \(v(1{,}5\text{ s}) = 3{,}6\) m/s.
3) \(a_x(t) = \dfrac{dv_x}{dt} = 2{,}4\) m/s² (constante). Comme \(\vec{a}\) est constant et colinéaire à \(\vec{v}\), de même sens (le chariot accélère continûment, sans jamais changer de sens), le mouvement est rectiligne uniformément accéléré (RUA).

Exercice 2 — La bille de flipper, points encadrants

Méthode des points encadrants

🕹️ Jeu de flipper

Une bille roule sur le plateau incliné d'un flipper. Le plateau est filmé à 25 images par seconde, soit un intervalle \(\tau = 0{,}040\) s entre deux images consécutives. On relève les positions suivantes (en cm) :

M₂ : (2,0 ; 8,0) — M₃ : (4,4 ; 7,0) — M₄ : (7,0 ; 5,6)

1) Rappeler la formule permettant d'estimer le vecteur vitesse en un point Mᵢ à partir de ses deux voisins Mᵢ₋₁ et Mᵢ₊₁. Pourquoi divise-t-on par \(2\tau\) et non par \(\tau\) ?

2) À l'aide des coordonnées du tableau, déterminer les coordonnées du vecteur vitesse estimé en M₃, en m/s.

3) Calculer la norme de ce vecteur vitesse.

4) Ce vecteur doit être représenté tangent à la trajectoire en M₃, orienté de M₂ vers M₄. Pourquoi cette construction donne-t-elle une bonne approximation de la tangente réelle en M₃ ?

1) \(\vec{v}(M_i) \approx \dfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}\). On divise par \(2\tau\) car le déplacement \(\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}\) s'effectue sur deux intervalles de durée \(\tau\) (de M₂ à M₃, puis de M₃ à M₄), soit une durée totale de \(2\tau\) — diviser par \(\tau\) seul est le piège classique à éviter.
2) \(\overrightarrow{M_2M_4} = (7{,}0-2{,}0\,;\,5{,}6-8{,}0)\) cm \(= (0{,}050\,;\,-0{,}024)\) m. Avec \(2\tau = 0{,}080\) s : \(\vec{v}(M_3) \approx (0{,}63\,;\,-0{,}30)\) m/s.
3) \(|\vec{v}| = \sqrt{0{,}625^2+0{,}300^2} \approx 0{,}69\) m/s.
4) M₂ et M₄ encadrent symétriquement M₃ dans le temps ; la droite qui les relie a une direction très proche de la tangente à la trajectoire en M₃, d'autant plus que \(\tau\) est petit devant la variation de courbure de la trajectoire.

Exercice 3 — La bretelle d'autoroute

Vecteur accélération : dérivation

🚗 Route

Une voiture s'engage sur une bretelle d'autoroute courbe. Dans un repère lié à la route, ses équations horaires sont \(x(t) = 4{,}0\,t\) et \(y(t) = 2{,}0\,t^2\) (unités SI), pour \(t \in [0\,;\,3{,}0\text{ s}]\).

1) Établir les expressions littérales de \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\).

2) En déduire les expressions de \(a_x(t)\) et \(a_y(t)\). Que peut-on dire du vecteur accélération : est-il constant au cours du temps ?

3) Calculer les composantes puis la norme du vecteur vitesse à \(t=2{,}0\) s.

4) Le vecteur accélération est-il colinéaire au vecteur vitesse à cet instant ? Qu'est-ce que cela permet de dire sur la trajectoire ?

1) \(v_x(t) = 4{,}0\) m/s (constante). \(v_y(t) = 4{,}0\,t\) (m/s).
2) \(a_x(t) = 0\). \(a_y(t) = 4{,}0\) m/s² (constante). Le vecteur accélération \(\vec{a} = (0\,;\,4{,}0)\) m/s² est donc constant, en norme ET en direction, au cours du mouvement.
3) \(\vec{v}(2{,}0\text{ s}) = (4{,}0\,;\,8{,}0)\) m/s. \(|\vec{v}| = \sqrt{4{,}0^2+8{,}0^2} \approx 8{,}9\) m/s.
4) \(\vec{a}\) est porté par l'axe \(Oy\) alors que \(\vec{v}\) a une composante horizontale non nulle (\(v_x = 4{,}0\) m/s) : ils ne sont pas colinéaires. Un vecteur accélération constant mais non colinéaire à \(\vec{v}\) à chaque instant signe une trajectoire courbe (ici une parabole) : le mouvement n'est pas rectiligne, bien que \(\vec{a}\) soit constant — un vecteur accélération constant n'implique donc pas un mouvement rectiligne.

Exercice 4 — Quatre situations, quel mouvement ?

Caractériser le mouvement

🏙️ Vie quotidienne

Pour chacune des situations suivantes, indiquer le type de mouvement (rectiligne, rectiligne uniforme, rectiligne uniformément accéléré, circulaire, ou circulaire uniforme) et préciser la direction et la norme (nulle / constante / variable) du vecteur accélération.

a) Un ascenseur qui démarre, en ligne droite verticale, jusqu'à atteindre sa vitesse de croisière (on étudie seulement la phase de démarrage).

b) Ce même ascenseur, une fois à sa vitesse de croisière constante.

c) Un cheval de bois de manège qui tourne à vitesse angulaire constante, à distance fixe de l'axe central.

d) Une bille de flipper qui vient de rebondir sur un plot et ralentit en ligne droite avant le prochain choc.

a) Rectiligne uniformément accéléré : \(\vec{a}\) colinéaire à \(\vec{v}\), de même sens, norme constante pendant le démarrage.
b) Rectiligne uniforme : \(\vec{a} = \vec{0}\), vitesse constante en norme et en direction.
c) Circulaire uniforme : \(\vec{a}\) perpendiculaire à \(\vec{v}\), dirigé vers le centre (centripète), de norme constante \(v^2/R\).
d) Rectiligne : la trajectoire reste une droite mais la vitesse diminue ; \(\vec{a}\) est colinéaire à \(\vec{v}\) mais de sens opposé (la bille freine). Sa norme est constante si le frottement est constant, variable sinon : le vecteur n'est constant que dans le cas d'une décélération uniforme.

Exercice 5 — L'essoreuse à salade

Circulaire uniforme : v et a

🥗 Cuisine

Le panier intérieur d'une essoreuse à salade manuelle, de rayon \(R = 9{,}0\) cm, tourne à une fréquence \(n = 2{,}5\) tours par seconde. On modélise ce mouvement comme circulaire uniforme.

1) Calculer la période de rotation \(T\) du panier.

2) En déduire la vitesse \(v\) d'un point situé sur le bord du panier, à l'aide de la relation \(v = \dfrac{2\pi R}{T}\).

3) Calculer la norme de l'accélération \(a\) de ce point. La comparer à l'accélération de pesanteur \(g = 9{,}81\) m/s² (exprimer \(a\) en multiples de \(g\)).

4) Décrire, par une phrase, la direction du vecteur accélération en ce point, et expliquer pourquoi l'eau est évacuée alors que la salade reste dans le panier.

1) \(T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{2{,}5} = 0{,}40\) s.
2) \(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2\pi \times 0{,}090}{0{,}40} \approx 1{,}4\) m/s.
3) \(a = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{1{,}4^2}{0{,}090} \approx 22\) m/s², soit \(a \approx 2{,}3\,g\).
4) Le vecteur accélération est perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre de l'essoreuse (centripète), de norme constante. C'est la paroi du panier qui impose cette forte accélération centripète à la salade (elle la retient). Les gouttes d'eau, elles, ne sont plus retenues quand elles atteignent un trou : d'après le principe d'inertie, elles poursuivent en ligne droite selon la tangente (direction de leur vitesse) et sont expulsées hors du panier. Il n'y a pas de « force centrifuge » qui les pousserait vers l'extérieur.

Exercice 6 — Le rond-point pris en accélérant

Repère de Frenet (non uniforme)

🚙 Circulation routière

Une voiture entre dans un rond-point de rayon \(R = 15\) m. Tout en tournant, elle accélère progressivement, sa vitesse augmentant à raison constante de \(\dfrac{dv}{dt} = 0{,}80\) m/s². À l'instant étudié, sa vitesse vaut \(v = 6{,}0\) m/s.

1) Rappeler l'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet \((M, \vec{u}_t, \vec{u}_n)\) pour un mouvement circulaire, en précisant ce que traduit chacune de ses deux composantes.

2) Calculer la composante tangentielle \(a_t\) et la composante normale \(a_n\) de l'accélération à cet instant.

3) En déduire la norme du vecteur accélération.

4) Calculer l'angle entre le vecteur accélération et le vecteur vitesse à cet instant.

1) \(\vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_n\). \(a_t = dv/dt\) traduit la variation de la norme de \(v\) (ici positive : la voiture accélère) ; \(a_n = v^2/R\) traduit le changement de direction, toujours dirigé vers le centre.
2) \(a_t = 0{,}80\) m/s² (donné). \(a_n = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{6{,}0^2}{15} = 2{,}4\) m/s².
3) \(|\vec{a}| = \sqrt{a_t^2+a_n^2} = \sqrt{0{,}80^2+2{,}4^2} \approx 2{,}5\) m/s².
4) \(\tan\theta = \dfrac{a_n}{a_t} = \dfrac{2{,}4}{0{,}80} = 3{,}0 \Rightarrow \theta \approx 72°\). Le vecteur \(\vec{a}\) n'est donc ni tangent ni perpendiculaire à la trajectoire : il penche fortement vers le centre du rond-point, signature d'un mouvement circulaire accéléré (et non uniforme).

Exercice 7 (type bac) — La centrifugeuse de laboratoire

★ Synthèse — circulaire uniforme + Frenet

🧪 Exercice de synthèse

Une centrifugeuse de laboratoire fait tourner des tubes à essai placés à une distance \(R = 12\) cm de l'axe de rotation, à une vitesse de rotation \(N = 4\,000\) tours par minute. On modélise le mouvement d'un point du tube comme circulaire uniforme.

1) Calculer la période de rotation \(T\) (en s) puis la vitesse \(v\) du tube (en m/s).

2) Donner l'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet pour ce mouvement, puis calculer sa norme.

3) Exprimer cette accélération en multiples de \(g = 9{,}81\) m/s².

4) Pendant la rotation à 4 000 tours par minute, un tube se détache accidentellement de son support. On étudie uniquement la projection de son mouvement dans le plan horizontal (le poids, vertical, n'agit pas dans ce plan ; frottements de l'air négligés). Quel est alors le mouvement du tube éjecté ? Justifier à partir des propriétés du vecteur vitesse.

1) \(f = \dfrac{N}{60} = \dfrac{4\,000}{60} \approx 66{,}7\) Hz \(\Rightarrow T = \dfrac{1}{f} \approx 0{,}0150\) s (15 ms). \(v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{2\pi \times 0{,}12}{0{,}0150} \approx 50\) m/s.
2) \(\vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_n\) ; mouvement circulaire uniforme \(\Rightarrow \dfrac{dv}{dt}=0 \Rightarrow \vec{a} = \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_n\), entièrement centripète. \(|\vec{a}| = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{50{,}3^2}{0{,}12} \approx 2{,}1\times10^4\) m/s².
3) \(a/g \approx \dfrac{2{,}1\times10^4}{9{,}81} \approx 2{,}1\times10^3\) — soit environ 2 100 fois l'accélération de pesanteur (grandeur réellement utilisée en laboratoire, notée RCF, « ×g »).
4) Le vecteur vitesse est, par définition, toujours tangent à la trajectoire. Au moment où le tube se détache, il possède donc une vitesse tangente au cercle, de norme \(v \approx 50\) m/s. Une fois libéré, en l'absence de frottements, plus rien ne fait varier ce vecteur vitesse (ni en norme, ni en direction) : le tube part en ligne droite, à vitesse constante — un mouvement rectiligne uniforme (dans le plan horizontal), dans la direction tangente au cercle au point où il s'est détaché. Verticalement, le poids le fait tomber : son mouvement réel est donc parabolique.

Exercice 8 — Le ballon de basket (équations horaires)

Équations horaires — trajectoire courbe

🏀 Sport

Lors d'un pointage vidéo (voir « Pour aller plus loin » du cours), un ballon de basket est lancé. Dans le référentiel du gymnase (origine au point de lancer, axe \(x\) horizontal, axe \(y\) vertical vers le haut), son centre suit les équations horaires \(x(t) = 3{,}5\,t\) et \(y(t) = 6{,}0\,t - 4{,}905\,t^2\) (\(x, y\) en m ; \(t\) en s).

1) Établir les expressions de \(v_x(t)\) et \(v_y(t)\).

2) En déduire les expressions de \(a_x(t)\) et \(a_y(t)\). Le vecteur accélération est-il constant ?

3) Calculer les coordonnées du vecteur vitesse à \(t=0{,}50\) s, puis sa norme.

4) La trajectoire de ce ballon est-elle rectiligne ? Justifier à partir de la direction du vecteur accélération par rapport à celle du vecteur vitesse trouvé à la question 3.

1) \(v_x(t) = 3{,}5\) m/s (constante). \(v_y(t) = 6{,}0 - 9{,}81\,t\) (m/s).
2) \(a_x(t) = 0\). \(a_y(t) = -9{,}81\) m/s² (constante). Le vecteur accélération \(\vec{a} = (0\,;\,-9{,}81)\) m/s² est donc constant, en norme et en direction (résultat que le chapitre suivant expliquera : c'est l'effet du seul poids).
3) \(\vec{v}(0{,}50\text{ s}) = (3{,}5\,;\,1{,}1)\) m/s. \(|\vec{v}| = \sqrt{3{,}5^2+1{,}1^2} \approx 3{,}7\) m/s.
4) \(\vec{a}\) est vertical alors que \(\vec{v}\) a une composante horizontale non nulle (\(v_x = 3{,}5\) m/s) : ils ne sont pas colinéaires. La trajectoire n'est donc pas rectiligne (elle est ici parabolique) — même conclusion qu'à l'exercice 3 : un vecteur accélération constant n'implique pas un mouvement rectiligne.

Exercice 9 — Pointage vidéo réel du même TP

Points encadrants — données réelles

🏀 TP pointage vidéo

Toujours pour le lancer de l'exercice précédent, la caméra filme à 50 images par seconde, soit \(\tau = 0{,}020\) s entre deux images (origine des dates : instant du lancer). Près du sommet de la trajectoire, on relève, au millimètre près, les positions successives suivantes du centre du ballon (en m) :

M₆ (t = 0,58 s) : (2,030 ; 1,830) — M₇ (t = 0,60 s) : (2,100 ; 1,834) — M₈ (t = 0,62 s) : (2,170 ; 1,835)

1) À l'aide de la méthode des points encadrants, déterminer les coordonnées du vecteur vitesse estimé au point M₇.

2) Comparer la composante horizontale de cette vitesse à la valeur \(v_x = 3{,}5\) m/s de l'exercice précédent. Que peut-on en conclure sur la qualité du pointage ? Comparer la composante verticale à la valeur donnée par l'expression \(v_y(t)\) de l'exercice 8 et interpréter sa faible valeur.

3) Si l'opérateur du logiciel de pointage avait mal configuré la fréquence de la caméra et utilisait par erreur \(\tau' = 0{,}040\) s au lieu de \(\tau = 0{,}020\) s, quelle serait l'erreur commise sur la norme de la vitesse calculée (facteur multiplicatif) ?

1) \(\overrightarrow{M_6M_8} = (2{,}170-2{,}030\,;\,1{,}835-1{,}830) = (0{,}140\,;\,0{,}005)\) m. Avec \(2\tau = 0{,}040\) s : \(\vec{v}(M_7) \approx (3{,}5\,;\,0{,}13)\) m/s.
2) La composante horizontale retrouvée (\(v_x = 3{,}5\) m/s) est égale, aux incertitudes de pointage près (quelques 0,03 m/s avec des positions au millimètre), à la vitesse horizontale du lancer : c'est une bonne validation expérimentale de la méthode. Pour la composante verticale, l'exercice 8 donne \(v_y(0{,}60\text{ s}) = 6{,}0 - 9{,}81\times0{,}60 = 0{,}11\) m/s, en accord avec 0,13 m/s (écart de l'ordre de l'incertitude de pointage : 1 mm sur 0,040 s donne environ 0,03 m/s) : on est près du sommet de la trajectoire, là où le ballon cesse de monter avant de redescendre.
3) Avec \(\tau' = 0{,}040\) s, le dénominateur \(2\tau'\) vaudrait 0,080 s, soit le double du bon dénominateur (0,040 s). La norme de vitesse calculée serait donc divisée par 2 par rapport à la valeur réelle : une mauvaise configuration de la fréquence de la caméra fausse directement la vitesse mesurée, ici d'un facteur ×0,5 (vitesse deux fois trop faible).

Exercice 10 — Construire les vecteurs vitesse et accélération

Construction graphique de \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\)

🚴 Sport

Un cycliste aborde un virage. On étudie son mouvement dans le référentiel terrestre, avec un repère orthonormé (O ; \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) lié au sol. Une chronophotographie, avec une durée \(\tau = 0{,}50\) s entre deux positions successives, donne les coordonnées (en m) du centre de masse du cycliste :

M₂ (9,2 ; 0,60) — M₃ (13,2 ; 1,35) — M₄ (16,8 ; 2,40) — M₅ (20,0 ; 3,75) — M₆ (22,8 ; 5,40)

1) Justifier le choix du référentiel. Placer les cinq points sur un schéma (échelle : 1 cm pour 2 m) et tracer les vecteurs déplacement \(\overrightarrow{M_2M_4}\) et \(\overrightarrow{M_4M_6}\).

2) Déterminer les coordonnées des vecteurs vitesse \(\vec{v}(M_3)\) et \(\vec{v}(M_5)\) par la méthode des points encadrants. Les représenter en M₃ et M₅ (échelle : 1 cm pour 2 m/s).

3) Construire le vecteur variation de vitesse \(\Delta\vec{v} = \vec{v}(M_5) - \vec{v}(M_3)\), puis en déduire le vecteur accélération \(\vec{a}(M_4)\) en précisant la durée à utiliser. Le représenter en M₄ (échelle : 1 cm pour 1 m/s²) et donner ses coordonnées et sa norme.

4) Le cycliste accélère-t-il ou ralentit-il en M₄ ? La trajectoire est-elle rectiligne ? Justifier à partir des directions de \(\vec{v}\) et de \(\vec{a}\).

1) Le référentiel terrestre (le sol) est celui dans lequel le mouvement est observé : c'est lui qui est lié au repère (O ; \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)). Les vecteurs déplacement ont pour coordonnées \(\overrightarrow{M_2M_4} = (7{,}6\,;\,1{,}8)\) m et \(\overrightarrow{M_4M_6} = (6{,}0\,;\,3{,}0)\) m.
2) Chaque déplacement s'effectue en \(2\tau = 1{,}00\) s : \(\vec{v}(M_3) \approx \dfrac{\overrightarrow{M_2M_4}}{2\tau} = (7{,}6\,;\,1{,}8)\) m/s, de norme 7,8 m/s ; \(\vec{v}(M_5) \approx \dfrac{\overrightarrow{M_4M_6}}{2\tau} = (6{,}0\,;\,3{,}0)\) m/s, de norme 6,7 m/s. Sur le schéma, ce sont des flèches de 3,9 cm et 3,4 cm (échelle 1 cm pour 2 m/s), tangentes à la trajectoire.
3) On trace en M₄ les deux vecteurs \(\vec{v}(M_5)\) et \(-\vec{v}(M_3)\) bout à bout : leur somme est \(\Delta\vec{v} = (-1{,}6\,;\,+1{,}2)\) m/s. Cette variation s'est produite entre M₃ et M₅, soit pendant \(2\tau = 1{,}00\) s : \[ \vec{a}(M_4) \approx \frac{\vec{v}(M_5)-\vec{v}(M_3)}{2\tau} = (-1{,}6\,;\,1{,}2)\ \text{m/s}^2 \qquad a = \sqrt{1{,}6^2+1{,}2^2} = 2{,}0\ \text{m/s}^2 \] Sur le schéma : une flèche de 2,0 cm (échelle 1 cm pour 1 m/s²), orientée vers le haut et vers la gauche.
4) La vitesse en M₄ est voisine de la moyenne \((6{,}8\,;\,2{,}4)\) m/s. Le produit scalaire \(\vec{a}\cdot\vec{v} = -1{,}6\times6{,}8 + 1{,}2\times2{,}4 \approx -8{,}0 < 0\) : la composante tangentielle de \(\vec{a}\) est opposée à \(\vec{v}\), donc le cycliste ralentit (la norme passe de 7,8 à 6,7 m/s). De plus \(\vec{a}\) n'est pas colinéaire à \(\vec{v}\) : la direction de la vitesse change, la trajectoire n'est pas rectiligne. Elle est incurvée du côté où pointe \(\vec{a}\) (vers le haut).

Exercice 11 (difficile) — Vrai ou faux, et pourquoi ?

★ Synthèse — pièges classiques du chapitre

🧠 Exercice de synthèse — peu guidé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier (si elle est fausse, donner un contre-exemple ou l'affirmation correcte).

a) « Si la norme du vecteur vitesse d'un point est constante au cours du temps, alors son vecteur accélération est nécessairement nul. »

b) « Le vecteur accélération est toujours tangent à la trajectoire, comme le vecteur vitesse. »

c) « Dans le repère de Frenet, la composante tangentielle \(a_t\) traduit le changement de direction du mouvement, tandis que la composante normale \(a_n\) traduit le changement de norme de la vitesse. »

d) « Un mouvement peut avoir un vecteur accélération constant (en norme et en direction) sans que sa trajectoire soit une droite. »

e) « Pour estimer le vecteur vitesse en un point Mᵢ d'une chronophotographie à l'aide de ses voisins Mᵢ₋₁ et Mᵢ₊₁, il faut diviser le vecteur \(\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}\) par la durée \(\tau\) séparant deux images consécutives. »

a) Faux. Contre-exemple : le mouvement circulaire uniforme. La norme de \(\vec{v}\) est constante, mais \(\vec{a} \neq \vec{0}\) (accélération centripète, dirigée vers le centre) car la direction de \(\vec{v}\) change continuellement.
b) Faux. Seul le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. Le vecteur accélération l'est dans un mouvement rectiligne, mais en général (mouvement circulaire par exemple) il possède une composante normale non nulle à la trajectoire.
c) Faux (inversé). C'est l'inverse : \(a_t = dv/dt\) traduit le changement de norme de \(v\) (le point accélère ou freine), et \(a_n = v^2/R\) traduit le changement de direction (la trajectoire tourne).
d) Vrai. Contre-exemple : le mouvement parabolique du ballon de basket (exercices 8 et 9) ou du tir étudié dans le cours — \(\vec{a} = \vec{g}\), constant et vertical, mais la trajectoire est courbe car \(\vec{a}\) n'est jamais colinéaire à \(\vec{v}\).
e) Faux. Il faut diviser par \(2\tau\) et non par \(\tau\), car le déplacement \(\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}\) s'effectue sur deux intervalles de durée \(\tau\) chacun, soit une durée totale de \(2\tau\) — c'est le piège classique rappelé dans le cours.

Bilan de compétences — Ces exercices, je sais faire ?

Coche honnêtement chaque compétence. Les cases cochées sont sauvegardées localement sur cet appareil.

0/7

Commence par cocher les compétences maîtrisées ↑

← Revoir le cours